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第1章 多项式1

1.1基本概念1

1.2主要结论3

1.3应掌握的主要方法7

1.4典型习题及分析8

1.4.1多项式的除法8

1.4.2多项式的整除9

1.4.3多项式的综合除法11

1.4.4多项式的辗转相除法及最大公因式13

1.4.5多项式的次数16

1.4.6多项式的互素18

1.4.7多项式在有理数域上的有理根及可约性20

1.4.8多项式的最小公倍式及公共根24

1.4.9多项式的实根、复根26

1.4.10多项式的重根27

1.4.11判断题29

第2章 行列式34

2.1基本概念34

2.2主要结论36

2.3应掌握的主要方法37

2.4典型习题及分析40

2.4.1利用定义法计算行列式40

2.4.2利用拆项法计算行列式41

2.4.3利用化三角形法计算行列式42

2.4.4利用反对称行列式计算行列式48

2.4.5利用镶边法计算行列式48

2.4.6利用数学归纳法计算行列式51

2.4.7利用依行或依列展开法计算行列式53

2.4.8利用位置对换法计算行列式58

2.4.9利用拉普拉斯公式计算行列式60

2.4.10利用递推关系计算行列式62

2.4.11利用行（列）和相等计算行列式63

2.4.12利用三对角线行列式计算行列式64

2.4.13利用行列式的乘积计算行列式65

2.4.14利用范德蒙行列式计算行列式66

2.4.15利用逐行相加减法计算行列式68

2.4.16利用列向量计算行列式69

2.4.17判断题70

第3章 矩阵71

3.1基本概念71

3.2主要结果73

3.3应掌握的主要方法77

3.4典型习题及分析79

3.4.1矩阵的运算79

3.4.2求矩阵的秩及秩的应用85

3.4.3求矩阵的逆矩阵90

3.4.4求矩阵的行列式98

3.4.5解矩阵方程101

3.4.6判断题103

第4章 线性方程组106

4.1基本概念106

4.2主要结论106

4.3应掌握的主要方法109

4.4典型习题及分析109

4.4.1用增广矩阵求线性方程组的解110

4.4.2线性方程组在几何上的应用113

4.4.3对于给定的线性方程组确定未知系数116

4.4.4线性方程组的理论及应用120

4.4.5判断题130

第5章 λ-矩阵及标准形133

5.1基本概念133

5.2主要结论134

5.3应掌握的主要方法137

5.4典型习题及分析137

5.4.1求λ-矩阵A （λ）的逆矩阵137

5.4.2求λ-矩阵的不变因子与初等因子138

5.4.3化λ-矩阵成标准形139

5.4.4λ-矩阵的的等价142

5.4.5矩阵最小多项式142

5.4.6判断题143

第6章 向量空间145

6.1基本概念145

6.2主要结论146

6.3应掌握的主要方法151

6.4典型习题及分析152

6.4.1判断向量集合是否为向量空间152

6.4.2证明向量组的线性相关性152

6.4.3求某向量关于某些（基）向量的坐标157

6.4.4向量空间中向量的运算161

6.4.5向量子空间的证明161

6.4.6向量空间的维数与基162

6.4.7线性方程组的解空间164

6.4.8向量组的秩169

6.4.9生成子空间的运算172

6.4.10向量空间的直和178

6.4.11同构映射180

6.4.12扩充基183

6.4.13判断题184

第7章 线性变换190

7.1基本概念190

7.2主要结论192

7.3应掌握的主要方法196

7.4典型习题及分析196

7.4.1判断向量空间V的变换是否为线性变换196

7.4.2利用线性变换判断向量组的线性关系196

7.4.3线性变换的运算199

7.4.4求线性变换的方法201

7.4.5求线性变换在某个基下的矩阵202

7.4.6判断两个矩阵相似205

7.4.7线性映射与同构映射208

7.4.8矩阵的特征根与特征向量209

7.4.9线性变换的特征根与特征向量214

7.4.10不变子空间215

7.4.11判断矩阵可以对角化的方法217

7.4.12线性变换的象与核220

7.4.13位似变换224

7.4.14子空间的线性变换225

7.4.15判断题226

第8章 欧氏空间228

8.1基本概念228

8.2主要结论229

8.3应掌握的主要方法231

8.4典型习题及分析231

8.4.1判定所给的空间与运算是否是欧氏空间231

8.4.2求两个向量的距离231

8.4.3求两个向量之间的夹角232

8.4.4正交向量组及正交基、标准正交基233

8.4.5向量组的正交化方法236

8.4.6正交矩阵239

8.4.7正交子空间241

8.4.8正交变换244

8.4.9反对称矩阵的特征根246

8.4.10柯西不等式246

8.4.11实对称矩阵的对角化246

8.4.12判断题249

第9章 二次型252

9.1基本概念252

9.2主要结论253

9.3应掌握的主要方法256

9.4典型习题及分析259

9.4.1用配方法化二次型为标准形259

9.4.2用正交变换法化二次型为标准形261

9.4.3用合同变换法化二次型为标准形264

9.4.4矩阵的合同267

9.4.5正定矩阵及二次型269

9.4.6半正定二次型及其矩阵274

9.4.7二次型及其矩阵275

9.4.8二次型的秩和符号差278

9.4.9二次型与正交矩阵的关系280

9.4.10判断题282

附录285

符号说明314