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第一部分 稀疏和冗余表示——理论和数值基础2

第1章 引言2

1.1 欠定线性系统2

1.2 正则化2

1.3 凸的魅力3

1.4 ？1最小化的进一步讨论5

1.5 （P1）转换为线性规划6

1.6 提升解的稀疏性7

1.7 ？0-范数及推论9

1.8 （P0）问题——我们的主要兴趣11

1.9 信号处理的观点12

延伸阅读12

第2章 唯一性和不确定性14

2.1 双正交情况的讨论14

2.1.1 测不准原理14

2.1.2 冗余解的不确定性18

2.1.3 从不确定性到唯一性18

2.2 一般情况下的唯一性分析19

2.2.1 唯一性和稀疏度19

2.2.2 由互相关得到的唯一性20

2.2.3 由Babel函数得到的唯一性22

2.2.4 稀疏度的上界23

2.3 构造Grassmannian矩阵23

2.4 总结26

延伸阅读26

第3章 搜索算法——实践28

3.1 贪婪算法28

3.1.1 核心思想28

3.1.2 正交匹配追踪29

3.1.3 其他贪婪算法31

3.1.4 归一化33

3.1.5 贪婪算法中残差衰减的速度35

3.1.6 阈值算法36

3.1.7 贪婪算法的数值演示37

3.2 凸松弛技术39

3.2.1 ？0-范数的松弛39

3.2.2 （P1）问题的数值求解算法41

3.2.3 松弛方法的数值演示41

3.3 总结43

延伸阅读43

第4章 搜索算法——性能保证44

4.1 重回双正交的情况44

4.1.1 OMP性能保证44

4.1.2 BP性能保证46

4.2 一般情况52

4.2.1 OMP性能保证52

4.2.2 阈值算法性能保证53

4.2.3 BP性能保证54

4.2.4 追踪算法的性能—小结57

4.3 符号模式的作用57

4.4 Tropp的精确恢复条件58

4.5 总结61

延伸阅读61

第5章 从精确解到近似解63

5.1 一般的动机63

5.2 最稀疏解的稳定性64

5.2.1 稳定性和唯一性的对比—直观感受64

5.2.2 （P？0）问题稳定性的理论研究66

5.2.3 RIP及其在稳定性分析上的应用69

5.3 搜索算法72

5.3.1 OMP和BP的推广72

5.3.2 迭代重加权最小二乘（IRLS）73

5.3.3 LARS算法76

5.3.4 近似值的质量79

5.4 归一情况82

5.5 追踪算法的性能83

5.5.1 BPDN稳定性保证84

5.5.2 阈值算法稳定性保证85

5.6 总结87

延伸阅读88

第6章 迭代收缩算法90

6.1 背景90

6.2 酉矩阵情况——方法来源91

6.2.1 酉矩阵下的收缩91

6.2.2 BCR算法和变化形式92

6.3 迭代收缩算法的推导93

6.3.1 替代函数和邻近方法93

6.3.2 EM和边界优化方法95

6.3.3 基于IRLS的收缩算法96

6.3.4 并行坐标下降（PCD）算法98

6.3.5 StOMP：贪婪方法的变化101

6.3.6 概要——迭代收缩算法102

6.4 使用线性搜索和SESOP进行加速104

6.5 迭代收缩算法：测试104

6.6 总结110

延伸阅读111

第7章 平均性能分析113

7.1 重新审视经验证据113

7.2 概率分析初探115

7.2.1 分析目标115

7.2.2 Candes和Romberg提出的双正交分析116

7.2.3 概率唯一性118

7.2.4 Donoho的分析119

7.2.5 小结119

7.3 阈值算法的平均性能119

7.3.1 预备知识119

7.3.2 分析120

7.3.3 讨论122

7.4 总结123

延伸阅读124

第8章 Dantzig-选择器算法125

8.1 Dantzig-选择器和基追踪的比较125

8.2 酉矩阵形式127

8.3 重新审视约束等距机制（Restricted Isometry Machinery,RIM）127

8.4 Dantzig选择器的性能保证128

8.5 实用的Dantzig选择器134

8.6 总结136

延伸阅读136

第二部分 从理论到实践——信号和图像处理应用138

第9章 信号处理中的稀疏搜索方法138

9.1 信号的先验和变换138

9.2 稀疏域模型141

9.3 稀疏域的几何解释142

9.4 稀疏生成信号的处理144

9.5 分析信号模型与合成信号模型的对比146

9.6 总结147

延伸阅读148

第10章 图像锐化——专题研究152

10.1 问题描述152

10.2 字典153

10.3 数值考虑156

10.4 实验细节和结果158

10.5 总结162

延伸阅读163

第11章 MAP估计和MMSE估计164

11.1 随机模型和估计目标164

11.2 MAP估计和MMSE估计的基础165

11.3 Oracle估计166

11.3.1 Oracle估计的推导166

11.3.2 Oracle估计误差168

11.4 MAP估计170

11.4.1 MAP估计的推导170

11.4.2 MAP估计的近似173

11.5 MMSE估计174

11.5.1 MMSE估计的推导174

11.5.2 MMSE估计的近似176

11.6 MMSE和MAP的估计误差179

11.7 更多的实验结果182

11.8 总结184

延伸阅读184

第12章 字典的探索186

12.1 选择和学习的对比186

12.2 字典学习算法187

12.2.1 字典学习的核心问题187

12.2.2 MOD算法188

12.2.3 K-SVD算法190

12.3 结构化字典的训练194

12.3.1 双稀疏模型195

12.3.2 酉基的联合197

12.3.3 标志字典198

12.4 总结199

延伸阅读199

第13章 图像压缩——人脸图像202

13.1 人脸图像压缩202

13.2 前人的工作203

13.3 基于稀疏表示的编码方案205

13.3.1 总体方案205

13.3.2 VQ与稀疏表示的对比206

13.4 更多的细节和结果208

13.4.1 K-SVD字典208

13.4.2 重构图像209

13.4.3 运行时间和使用的内存212

13.4.4 与其他技术的比较212

13.4.5 字典的冗余性214

13.5 去块效应后处理216

13.5.1 人工块痕迹216

13.5.2 去块效应的方法217

13.5.3 基于学习的去块效应方法217

13.6 去块效应结果218

13.7 总结219

延伸阅读219

第14章 图像去噪222

14.1 概述——图像去噪222

14.2 开始：全局模型223

14.2.1 图像去噪的核心算法223

14.2.2 各种改进224

14.3 从全局模型到局部模型226

14.3.1 方法概述226

14.3.2 收缩曲线学习227

14.3.3 字典学习和全局优化233

14.3.4 非局部均值（Non-Local Means）算法238

14.3.5 三维DCT收缩：BM3D去噪240

14.4 参数自动设置的SURE241

14.4.1 SURE的推导241

14.4.2 SURE在全局阈值中的应用示范243

14.5 总结245

延伸阅读246

第15章 其他应用250

15.1 概述250

15.2 MCA图像分离250

15.2.1 图像＝卡通＋纹理251

15.2.2 图像分离的全局MCA方法252

15.2.3 图像分离的局部MCA方法256

15.3 图像修补和脉冲噪声去除260

15.3.1 稀疏域信号修补——核心原则261

15.3.2 图像修补——局部K-VSD263

15.3.3 图像修补——全局MCA270

15.3.4 脉冲噪声滤除274

15.4 图像的尺度放大276

15.4.1 问题建模276

15.4.2 超分辨率算法278

15.4.3 尺度放大结果281

15.4.4 图像尺度放大：小结284

15.5 总结285

延伸阅读285

第16章 尾声289

16.1 全书关注的是什么？289

16.2 还缺少什么？289

16.3 结束语290

符号291

首字母缩略词（字母序）296