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第一章 函数与极限1

第一节 函数1

一、集合1

二、一元函数的定义3

三、函数的几种特性5

四、反函数7

习题1-17

第二节 初等函数8

一、基本初等函数8

二、复合函数11

三、初等函数12

四、双曲函数12

习题1-214

第三节 数列的极限14

一、数列15

二、数列极限的定义16

三、数列收敛的充分条件与性质17

习题1-319

第四节 函数的极限20

一、自变量趋向无穷大时函数的极限20

二、自变量趋向有限值时函数的极限21

三、函数极限的性质22

习题1-424

第五节 无穷小与无穷大24

一、无穷小24

二、无穷大25

习题1-526

第六节 极限运算法则26

习题1-630

第七节 两个重要极限31

一、重要极限lim x→0 sinx/x = 131

二、重要极限lim x→∞（1+1/x）x=e33

习题1-735

第八节 无穷小的比较35

习题1-837

第九节极限的精确定义37

一、数列极限的精确定义37

二、函数极限的精确定义39

三、无穷小与无穷大的精确定义41

四、极限的一些基本定理的证明42

习题1-946

第十节 函数的连续性46

一、函数连续的定义47

二、函数的间断点48

习题1-1050

第十一节 连续函数的运算与初等函数的连续性50

一、连续函数的和、积及商的连续性50

二、反函数与复合函数的连续性51

三、初等函数的连续性52

习题1-1153

第十二节 闭区间上连续函数的性质53

一、最大值和最小值定理53

二、介值定理54

习题1-1255

第十三节综合例题55

复习题一59

第二章 导数与微分63

第一节 导数概念63

一、引例63

二、导数的定义65

三、求导数举例66

四、函数的可导性与连续性之间的关系68

五、导数的几何意义69

习题2-170

第二节 函数的求导法则70

一、函数的和、差、积、商的求导法则70

二、反函数的求导法则74

三、复合函数的导数75

习题2-278

第三节 高阶导数80

习题2-383

第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数84

一、隐函数的导数84

二、对数求导法86

三、由参数方程所确定的函数的导数86

四、相关变化率89

习题2-489

第五节 函数的微分90

一、微分的概念90

二、微分的运算公式93

三、微分在近似计算中的应用94

习题2-595

第六节 微元96

第七节 综合例题98

复习题二101

第三章 中值定理与导数的应用105

第一节 中值定理105

一、费马引理105

二、罗尔定理106

三、拉格朗日中值定理107

四、柯西中值定理109

习题3-1109

第二节 洛必达法则110

习题3-2115

第三节 泰勒中值定理115

习题3-3118

第四节 函数单调性判别法119

习题3-4120

第五节 函数的极值与最值121

一、函数的极值及其求法121

二、函数的最值及其求法122

习题3-5125

第六节 曲线的凹凸性与拐点126

习题3-6128

第七节 函数作图129

习题3-7131

第八节 曲线的曲率132

一、曲率概念132

二、曲率圆与曲率半径133

习题3-8135

第九节方程的近似解135

一、二分法135

二、牛顿法136

习题3-9138

第十节综合例题138

复习题三142

第四章 不定积分146

第一节 不定积分的概念和性质146

一、原函数与不定积分的概念146

二、不定积分的性质148

三、不定积分的基本公式149

习题4-1151

第二节 换元积分法151

一、第一类换元法152

二、第二类换元法155

习题4-2158

第三节 分部积分法159

习题4-3162

第四节 几种特殊类型函数的积分163

一、有理函数的积分163

二、三角函数有理式的积分165

三、简单无理函数的积分举例166

习题4-4167

第五节综合例题167

复习题四171

第五章 定积分174

第一节 定积分概念174

一、引例174

二、定积分定义176

习题5-1179

第二节 定积分的性质179

习题5-2182

第三节 微积分基本公式182

习题5-3187

第四节 定积分的换元法与分部积分法188

一、定积分的换元法188

二、定积分的分部积分法191

习题5-4193

第五节 广义积分初步194

一、积分区间为无穷的广义积分194

二、无界函数的广义积分196

习题5-5198

第六节 定积分的近似计算198

一、梯形方法198

二、抛物线方法199

第七节综合例题201

复习题五204

第六章 定积分的应用210

第一节 平面图形的面积210

一、直角坐标情形210

二、极坐标情形212

习题6-1213

第二节 体积214

一、旋转体的体积214

二、平行截面面积为已知的立体的体积216

习题6-2216

第三节 平面曲线的弧长217

一、直角坐标情形217

二、参数方程情形218

三、极坐标方程情形219

习题6-3220

第四节 定积分的其他应用220

一、物理中的应用220

二、工程中的应用222

三、经济管理中的应用224

习题6-4226

第五节 综合例题226

复习题六230

第七章 常微分方程232

第一节 微分方程的基本概念232

习题7-1235

第二节 可分离变量的微分方程235

习题7-2237

第三节 齐次方程238

习题7-3240

第四节 一阶线性方程240

一、一阶线性微分方程240

二、贝努利方程245

习题7-4246

第五节 可降阶的高阶微分方程246

一、y（n）=f （x）型的微分方程246

二、y″ =f （x， y′）型的微分方程247

三、y″=f （y， y′）型的微分方程248

习题7-5249

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构249

习题7-6252

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程252

习题7-7255

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程256

一、f（x）=Pm（x） eλx型256

二、f（x）=eλx[Pl （x） eos ωx+Pn（x）sinωx]型258

习题7-8259

第九节欧拉方程260

习题7-9261

第十节常系数线性微分方程组261

习题7-10263

第十一节微分方程应用举例264

习题7-11270

第十二节综合例题271

复习题七275

第八章 向量代数与空间解析几何278

第一节 空间直角坐标系278

一、空间直角坐标系及点的坐标278

二、两点间的距离公式279

习题8-1280

第二节 向量及其运算280

一、向量的概念280

二、向量的线性运算281

三、向量的数量积285

四、向量的向量积286

五、向量的混合积288

习题8-2290

第三节 平面方程290

习题8-3293

第四节 空间直线的方程293

一、空间直线的一般方程293

二、空间直线的对称式方程与参数方程294

三、两直线的夹角295

四、直线与平面的夹角296

习题8-4296

第五节 曲面及其方程297

一、曲面与方程297

二、母线平行于坐标轴的柱面298

三、旋转曲面与二次曲面299

习题8-5302

第六节 空间曲线的参数方程 投影柱面303

一、空间曲线的一般方程303

二、空间曲线的参数方程304

三、空间曲线在坐标面上的投影305

习题8-6306

第七节综合例题307

复习题八310

第九章 多元函数微分法及其应用313

第一节 多元函数的基本概念313

一、平面区域的概念313

二、n维空间的概念314

三、多元函数的概念314

四、二元函数的极限316

五、二元函数的连续性317

习题9-1318

第二节 偏导数319

一、偏导数的概念及计算319

二、高阶偏导数321

习题9-2323

第三节 全微分323

习题9-3325

第四节 多元复合函数的求导法则326

习题9-4330

第五节 隐函数的求导公式332

一、一个方程确定的隐函数332

二、由方程组确定的隐函数334

习题9-5336

第六节 多元微分学在几何上的应用337

一、空间曲线的切线和法平面337

二、曲面的切平面与法线339

习题9-6341

第七节 方向导数与梯度341

一、方向导数的概念及计算341

二、梯度343

习题9-7345

第八节 一元向量值函数及其导数346

习题9-8348

第九节 多元函数的极值与最值348

一、极值与最值348

二、条件极值350

习题9-9353

第十节综合例题354

复习题九358

第十章 重积分362

第一节 二重积分的概念与性质362

一、二重积分的概念362

二、二重积分的性质365

习题10-1366

第二节 二重积分的计算法367

一、利用直角坐标计算二重积分367

二、利用极坐标计算二重积分372

习题10-2375

第三节 二重积分的应用377

一、曲面的面积377

二、平面薄片的质心379

三、平面薄片的转动惯量380

习题10-3381

第四节 三重积分381

一、三重积分的概念381

二、三重积分的计算382

三、三重积分的应用387

习题10-4389

第五节综合例题390

复习题十393

第十一章 曲线积分与曲面积分398

第一节 对弧长的曲线积分398

一、对弧长曲线积分的概念398

二、对弧长曲线积分的计算400

习题11-1402

第二节 对坐标的曲线积分403

一、对坐标曲线积分的概念403

二、对坐标曲线积分的计算406

三、两类曲线积分之间的关系409

习题11-2410

第三节 格林公式及其应用410

一、格林公式410

二、平面上曲线积分与路径无关的条件414

习题11-3418

第四节 对面积的曲面积分419

一、对面积的曲面积分的概念419

二、对面积的曲面积分的计算420

习题11-4422

第五节 对坐标的曲面积分423

一、对坐标的曲面积分的概念423

二、对坐标的曲面积分的计算427

习题11-5429

第六节 高斯公式 通量与散度430

一、高斯公式430

二、通量与散度432

习题11-6434

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度435

一、斯托克斯公式435

二、环流量与旋度437

习题11-7438

第八节综合例题438

复习题十一443

第十二章 级数448

第一节 常数项级数的基本概念和性质448

一、常数项级数的基本概念448

二、级数的基本性质451

习题12-1452

第二节 常数项级数敛散性的判别法453

一、正项级数及其敛散性判别法453

二、交错级数及其敛散性判别法457

三、绝对收敛与条件收敛458

习题12-2459

第三节 幂级数460

一、函数项级数的一般概念460

二、幂级数及其收敛性461

三、幂级数的运算465

习题12-3467

第四节 函数展开成幂级数468

习题12-4473

第五节 函数的幂级数展开式的应用474

一、欧拉公式474

二、函数值的近似计算474

三、计算定积分475

四、解微分方程476

习题12-5477

第六节 傅里叶级数477

一、三角级数、三角函数系的正交性477

二、函数展开成傅里叶级数478

三、正弦级数和余弦级数482

习题12-6485

第七节 一般周期函数的傅里叶级数485

习题12-7488

第八节综合例题488

复习题十二492

附录497

附录A数学软件介绍497

第一节MATLAB软件使用简介498

一、基本操作498

二、基本运算500

三、函数作图502

四、符号微积分504

第二节Mathematica软件使用简介507

一、基本操作507

二、基本运算509

三、二维图形510

四、M athematica在微积分中的应用510

附录B二阶和三阶行列式简介514

附录C极坐标简介516

附录D部分习题参考答案与提示520

参考文献563