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前言1

第1篇 高等数学1

1.1 函数1

1.1.1 求两类函数的表达式1

题型一　求分段函数的反函数的表达式1

目录1

题型二　求分段函数的复合函数的表达式2

题型一　判别经四则运算后的函数的奇偶性4

题型二 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性4

1.1.2 判别（证明）几类函数的奇偶性4

题型三　判别复合函数的奇偶性5

题型四 判别原函数F（x）＝？f（t）dt的奇偶性5

题型五 判别函数（akx±1）／（akx？1）的奇偶性（a＞0,a≠1,k≠0）6

题型六 证明分段函数的奇偶性7

1.1.3 奇、偶函数的几个性质的应用7

1.1.4 判别（证明）函数的周期性9

习题1.111

1.2　极限、连续14

1.2.1 极限的概念与基本性质14

题型一 正确理解极限定义中的“ε-N”、“ε-δ”、“ε-X”语言的含义14

题型二　正确区别无穷大量与无界变量15

题型三　正确运用极限的保序性、保号性18

题型四 正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限19

题型五　正确理解乘积极限的存在性20

题型六 正确理解复合函数极限的存在性21

1.2.2 求未定式极限23

题型一　求？型或？型极限23

题型二　求0·∞型极限26

题型三　求∞-∞型极限27

题型四　求幂指函数型（0°型，∞°型，1∞型）极限27

题型一　求无穷多项和的极限33

1.2.3 求数列极限33

题型二　求无穷多项积的极限36

题型三　求有限项之和或之积的数列极限37

题型四　求由递推关系式给出的数列的极限38

1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限40

题型一　求须先考察左、右极限的函数极限40

题型二　求含1/x的函数极限43

题型三　求含根式差的函数极限43

题型四　求含指数函数差的函数极限44

题型五　求含极限不存在但有界的因式的函数极限45

题型一 已知含未知函数的一（些）极限，求与该函数有关的函数极限46

1.2.5 计算极限的几类综合题46

题型六　求含取整函数的函数极限46

题型二　计算需用多个知识点求出的极限48

1.2.6 求极限式中的待定常数50

题型一　求有理函数极限式中的待定常数50

题型二　确定分式函数极限式中的参数52

题型三　求∞±∞型的根式极限式中的待定常数54

题型四 求含变项积分的极限式中的待定常数55

1.2.7 比较和确定无穷小的阶55

题型一 比较无穷小的阶57

题型二　确定无穷小的阶数58

题型三　利用无穷小阶的比较求待定常数60

1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型62

题型一　判别函数的连续性62

题型二　求函数的间断点并判断其类型68

1.2.9 根据函数的连续性确定待定常数71

1.2.10 用连续函数性质证明中值命题73

题型一　证明存在一点ξ，使f（ξ）＝k（k为定值）73

题型二 已知函数或（和）其导数在闭区间上的取值情况，证明中值等式75

习题1.277

题型一 用导数定义求某些分式函数的极限82

1.3.1 导数定义的两点应用82

1.3 一元函数微分学82

题型二 讨论函数在某点的可导性83

1.3.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性87

题型一 讨论分段函数的可导性87

题型二 讨论分段函数的导函数的连续性91

题型三 确定待定常数，使分段函数可导92

1.3.3 讨论含绝对值的函数的可导性96

题型一　讨论绝对值函数｜f（x）｜的可导性96

题型二 讨论f（x）＝｜？（x）｜g（x）的可导性97

题型一　求复合函数的导数99

1.3.4 求一元函数的导数和微分99

题型二　求反函数的导数100

题型三　求隐函数的导数102

题型四 求由参数方程所确定的函数的导数104

题型五　求分段函数的一阶、二阶导数106

题型六 求幂指函数f（x）g（x）的导数107

题型七　求某些简单函数的高阶导数108

题型八　求一元函数的微分110

1.3.5 利用罗尔定理证明中值等式111

题型一 证明导函数的零点存在问题111

题型二　证明存在ξ∈（a,b），使g（ξ）f′（ξ）＋h（ξ）f（ξ）＝0113

题型三　证明存在ξ∈（a,b），使f′（ξ）＋g（ξ）f（ξ）＝0114

题型四　证明存在ξ∈（a,b），使g（ξ）f′（ξ）＋h（ξ）f（ξ）＝Q（ξ）115

题型五 证明存在ξ∈（a,b），使G（ξ）＝0116

题型六 证明含区间端点及其函数值的中值等式116

题型七 已知函数在区间端点的值相等，证明与该函数有关的中值等式117

题型八　证明题设中有定积分等式的中值等式118

题型九　证明存在ξ∈（a,b），使F（k）（ξ）＝0（k≥2）120

1.3.6 拉格朗日中值定理的几点应用121

题型一　证明与函数改变量有关的问题121

题型二　证明与切线斜率有关的中值等式123

题型三　已知导函数的性质，证明其原来函数的性质124

题型二　证明含中值？的一端为两函数导数比的中值等式126

1.3.7 利用柯西中值定理证明中值等式126

题型一　证明一端为两函数增量比的中值等式126

题型三　证明使用柯西中值定理的两函数没有给出的中值等式128

1.3.8 证明多个中值所满足的中值等式129

1.3.9 泰勒定理的几点应用131

题型一　求函数的泰勒展开式132

题型二　用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限134

题型三　证明含高阶导函数的中值命题135

题型四 用泰勒公式证明不等式136

题型五 同求同一点的不同阶的导数值138

题型一　证明函数在某区间上是常数139

1.3.10 利用导数讨论函数性态139

题型二　证明（判别）函数的单调性141

题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值142

题型四 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点144

题型五　利用导数（值）的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点145

题型六 已知某点为极值点或拐点，讨论相关函数性质146

题型七 求函数的单调区间、极值、最值147

题型八　求曲线凹凸区间与拐点151

题型九　求曲线的渐近线153

题型十　利用函数性态作函数图形155

题型十一 已知函数的图形，确定该函数或其导函数的性质158

1.3.11 利用函数性态讨论方程的根159

题型一　讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数159

题型二　讨论含参数的方程实根的存在性及其个数161

题型三 已知方程根的个数，求其参数的取值范围162

1.3.12 利用导数证明不等式164

题型一　证明与函数改变量有关的不等式164

题型二 已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞0166

题型三　证明含常数加项的不等式169

题型四　证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式170

题型一　求平面曲线的切线方程和法线方程172

1.3.13 一元函数微分学的几何应用172

题型二　求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题175

题型三 求解与两曲线相切的有关问题178

题型四　求解与平面曲线的曲率有关的问题179

习题1.3181

1.4　一元函数积分学187

1.4.1 原函数与不定积分的关系187

题型一 已知某函数，求其原函数187

题型二 已知某函数的一个原函数，求该函数190

题型一 计算？f(x)g(x)dx191

1.4.2 计算不定积分191

题型二　计算简单无理函数的不定积分192

题型三　求？，其中k≠1为正实数196

题型四　求？197

题型五　求被积函数含反三角函数的积分201

1.4.3 利用定积分性质计算定积分202

题型一　利用其几何意义计算定积分202

题型二　计算对称区间上的定积分203

题型三　计算周期函数的定积分204

题型四　利用定积分的常用计算公式求其值205

题型五　计算被积函数含导函数的积分207

题型六 比较和估计定积分的大小208

题型七　求解含积分值为常数的函数方程209

题型八　计算几类须分子区间积分的定积分210

题型九　计算含参数的定积分214

题型十　求需换元计算的定积分215

题型十一　求连续函数的定积分的极限218

1.4.4 求解与变限积分有关的问题221

题型一　求含变限积分的未定型极限221

题型二　求变限积分的导数224

题型三　计算变限积分225

题型四　讨论变限积分函数的性态228

题型一　证明定积分的变换公式231

1.4.5 证明定积分等式231

题型二　证明定积分中值等式233

1.4.6 证明定积分不等式236

1.4.7 计算广义积分240

题型一　计算无穷区间上的广义积分240

题型二　判别？与？的敛散性（a＞0）243

题型三　计算无界函数的广义积分244

题型四　判别？与？的敛散性247

题型五 判别混合型广义积分的敛散性247

题型一 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积249

1.4.8 定积分的应用249

题型二 求旋转体体积253

题型三 计算旋转体的侧面积255

题型四 计算平行截面为已知的立体体积256

题型五 计算平面曲线的弧长258

题型六 计算面积和旋转体体积的最值260

题型七 计算物体沿直线所做的功264

题型八 计算压力与引力266

题型九 求函数在区间上的平均值270

习题1.4270

1.5.1 二（多）元函数微分学中的几个概念277

1.5 多元函数微积分学277

题型一　判别二元函数的几个基本概念的关系278

题型二　用定义判别二元函数是否可微279

1.5.2 计算偏导数与全微分282

题型一　计算显函数的偏导数282

题型二　求带抽象函数记号的复合函数偏导数284

题型三　计算由一个方程确定的隐函数的（偏）导数290

题型四　求由方程组确定的隐函数的（偏）导数291

题型五　变换含一阶、二阶偏导数的表示式293

题型六　求二元函数的全微分293

题型一　求二元函数的极值和最值295

1.5.3 多元函数微分学的应用295

题型二　求二（多）元函数的条件极值298

1.5.4 用直角坐标系计算二重积分299

题型一 根据积分区域选择积分次序计算二重积分299

题型二 根据被积函数选择积分次序计算二重积分300

题型三　证明二重（二次）积分等于单积分304

题型四　利用对称性计算二重积分305

题型五 分块计算二重积分310

题型六 计算无界区域上较简单的二重积分313

题型一 计算圆域x2+y2≤a（a＞0）上的二重积分316

1.5.5 用极坐标系计算二重积分316

题型二　计算圆域x2+y2≤2ax（a＞0）上的二重积分317

题型三 计算圆域x2+y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分317

题型四 计算圆域x2+y2≤2by（b＞0）上的二重积分319

题型五　计算圆域x2+y2≤-2by（b＞0）上的二重积分320

题型六 计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c（a,b＞0）上的二重积分321

题型七 计算两圆域公共部分上的二重积分322

题型八　转换二次积分323

1.5.6 求含二重积分的极限325

习题1.5327

题型一　求解变量可分离的微分方程332

1.6.1 求解一阶线性微分方程332

1.6　常微分方程332

题型二　求解齐次微分方程333

题型三　求解一阶线性微分方程334

题型四　求解以x为因变量，y为自变量的一阶线性微分方程337

1.6.2 求解几类可降阶的微分方程338

题型一　求解y(n)=f（x）型微分方程338

题型二　求解y″＝f（x,y′）型微分方程339

题型三　求解y″＝f（y,y′）型微分方程340

题型四　求解y″＝f（y′）型微分方程340

1.6.3 求解二阶常系数线性微分方程341

题型一　求解常系数齐次线性微分方程343

题型二　求解二阶常系数非齐次线性微分方程346

题型三　求微分方程具有某性质的特解351

1.6.4 已知特解反求二阶或高于二阶的线性常系数方程353

题型一 已知其特解，反求该齐次方程353

题型二 已知其特解，反求该非齐次方程355

1.6.5 微分方程的简单应用357

题型一 已知某曲线所围图形的几何量所满足的关系，反求该曲线357

题型二　求解与一些物理量有关的问题360

题型三　求解未知函数所满足的方程365

题型四　利用导数定义求函数表达式368

习题1.6369

第2篇 线性代数373

2.1　计算行列式373

2.1.1 计算特殊行列式373

题型一　计算非零元素（主要）在一条或两条对角线上的行列式373

题型二　计算非零元素在三条线上的行列式377

题型三　计算行（列）和相等的行列式378

题型四　计算范德蒙行列式379

题型五　求代数余子式之和的值381

题型六　求行列式中含某因子的所有项383

题型七　计算三阶行列式384

2.1.2 计算抽象矩阵的行列式385

题型一　求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值385

题型二　计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式387

题型三　求满足方程的矩阵的行列式之值389

题型四 已知某矩阵行列式的值，求与该矩阵相关联矩阵的行列式的值390

题型五　计算含零子块的四分块矩阵的行列式390

题型六　证明方阵行列式等于零392

题型七 利用特征值计算矩阵行列式393

习题2.1393

题型一　证明矩阵可逆397

2.2.1 证明矩阵的可逆性397

2.2 矩阵397

题型二 已知cAB+aA+bB+dE=0，证明A+eE（或B+eE）可逆，其中a,b,c,d,e为常数399

题型三　证明和（差）矩阵可逆401

题型四 证明方阵为不可逆矩阵402

2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法402

2.2.3 求解矩阵方程407

题型一　求解只含一个未知矩阵的矩阵方程407

题型二　求解含多个未知矩阵的矩阵方程408

题型三 求解AX=B或XA=B411

题型四　求与已知矩阵可交换的所有矩阵413

2.2.4 计算两类方阵的高次幂414

题型一　计算能分解为一列向量与一行向量相乘的方阵的高次幂414

题型二 计算能分解为两可交换矩阵之和的方阵的高次幂416

2.2.5 求矩阵的秩417

题型一　求元素具体给定的矩阵的秩417

题型二　抽矩阵的秩419

题型三 已知矩阵的秩求该矩阵中的参数422

2.2.6 初等变换及其应用424

题型一　利用初等变换性质解题425

题型二　用初等矩阵表示相应的初等变换426

题型三　利用初等矩阵的性质计算矩阵427

2.2.7 判别两同型矩阵等价或不等价428

2.2.8 几种特殊矩阵的运算规律430

习题2.2434

2.3 向量440

2.3.1 判定向量组线性相关、线性无关440

题型一　用线性相关性定义做选择题、填空题440

题型二　判定分量已知的向量组的线性相关性442

题型三　证明几类向量组的线性相关性444

2.3.2 判定向量能否由向量组线性表出450

题型一　判定分量已知的向量能否由向量组线性表出450

题型二　判断一抽象向量能否由向量组线性表出453

2.3.3 证明两向量组等价455

2.3.4 求向量组的秩与极大线性无关组459

题型一　求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组459

题型二　将向量用极大无关组线性表出461

2.3.5 已知向量组的秩求其所含参数462

2.3.6 证明向量组的秩465

习题2.3469

2.4　线性方程组474

2.4.1 判定线性方程组解的情况474

题型一　判定齐次线性方程组解的情况474

题型二　判定非齐次线性方程组解的情况477

2.4.2 由其解反求方程组的参数或其系数矩阵481

题型一 已知AX=0的解的情况，反求A中参数481

题型二　已知AX=b的解的情况，反求方程组中的参数482

题型三 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵484

2.4.3 证明一组向量为基础解系的常用方法485

2.4.4 基础解系和特解的简便求法488

2.4.5 求解含参数的线性方程组490

题型一 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组490

题型二　求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组496

题型三　求解参数仅出现在常数项的线性方程组497

2.4.6 求抽象线性方程组的通解499

题型一　A没有具体给出，求AX=0的通解499

题型二 已知AX=b的特解，求其通解500

题型三 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解503

2.4.7 求两线性方程组的非零公共解504

题型一　求两齐次线性方程组的非零公共解504

题型二　讨论两方程组同解的有关问题507

习题2.4509

2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量516

题型一　求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量516

2.5　矩阵的特征值、特征向量516

题型二　求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量519

2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求矩阵或矩阵中的参数523

题型一 由特征值和（或）特征向量反求矩阵中的参数523

题型二　已知特征值、特征向量，反求其矩阵525

2.5.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量528

2.5.4 判别方阵能否对角化531

题型一　判别元素给定的矩阵能否对角化531

题型二　判别抽象矩阵能否对角化534

题型一　判定两矩阵是否相似535

2.5.5 相似矩阵性质的简单应用535

题型二　计算相似矩阵的行列式538

题型三　求相似矩阵的秩539

题型四　计算相似矩阵的特征值540

题型五　确定相似矩阵中的参数541

题型六　计算相似矩阵的高次幂542

2.5.6 与两矩阵相似有关的计算544

题型一　n阶矩阵A可相似对角化，求A中参数及可逆阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值）544

题型二　求n阶实对称矩阵A中参数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值）546

题型三 已知矩阵A和可逆阵P满足P-1AP=B，求方阵B547

习题2.5548

习题答案与提示553