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第一章 绪论1

1研究对象1

2误差的来源及其基本概念2

2.1 误差的来源2

2.2 误差的基本概念3

2.3 和、差、积、商的误差6

3数值计算中的几点注意事项7

习题9

第二章 函数的插值与逼近12

1引言12

1.1 多项式插值12

1.2 最佳逼近14

1.3 曲线拟合15

2 Lagrange插值15

2.1 线性插值与抛物插值15

2.2 n次Lagrange插值多项式18

2.3 插值余项19

3迭代插值23

4 Newton插值26

4.1 Newton均差插值公式26

4.2 Newton差分插值公式30

5 Hermite插值35

6分段多项式插值42

6.1 分段线性插值44

6.2 分段三次Hermite插值45

7样条插值48

7.1 次样条插值函数的定义49

7.2 插值函数的构造50

7.3 三次样条插值的算法55

7.4 次样条插值的收敛性56

8最小二乘曲线拟合56

8.1 问题的引入及最小二乘原理56

8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合58

8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合61

8.4 多变量的最小二乘拟合63

9连续函数的最佳平方逼近63

9.1 利用多项式作平方逼近65

9.2 利用正交函数组作平方逼近67

10富利叶变换及快速富利叶变换68

10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换68

10.2 快速富利叶变换71

习题76

第三章 数值积分与数值微分81

1数值积分的基本概念81

1.1 数值求积的基本思想82

1.2 代数精度的概念82

1.3 插值型求积公式83

2等距节点求积公式85

2.1 Newton-Cotes公式85

2.2 复化求积法及其收敛性92

2.3 求积步长的自适应选取95

3 Romberg求积法98

3.1 Romberg求积公式98

3.2 Richardson外推加速技术100

4 Gauss 型求积公式104

4.1 Gauss型求积公式的一般理论104

4.2 几种常见的Gauss型求积公式109

5奇异积分和振荡函数积分的计算114

5.1 奇异积分的计算114

5.2 振荡函数积分的计算117

6多重积分的计算121

6.1 基本思想121

6.2 复化求积公式122

6.3 Gauss型求积公式124

7数值微分125

7.1 Taylor级数展开法125

7.2 插值型求导公式127

习题131

第四章 解线性代数方程组的直接法134

1 Gauss消去法134

2主元素消去法139

2.1 全主元素消去法139

2.2 列主元素消去法142

3矩阵三角分解法144

3.1 Doolittle分解法（LU分解）144

3.2 列主元素三角分解法148

3.3 平方根法150

3.4 三对角方程组的追赶法153

4向量范数、矩阵范数及条件数154

4.1 向量和矩阵的范数155

4.2 矩阵条件数及方程组性态158

习题161

第五章 解线性代数方程组的迭代法164

1 Jacobi迭代法164

2 Gauss-Seidel迭代法168

3超松弛迭代法178

4共轭梯度法181

习题186

第六章 非线性方程求根190

1逐步搜索法及二分法191

1.1 逐步搜索法191

1.2 二分法191

2迭代法193

2.1 迭代法的算法194

2.2 迭代法的基本理论195

2.3 局部收敛性及收敛阶198

3迭代收敛的加速201

3.1 松弛法201

3.2 Aitken方法202

4 Newton迭代法204

4.1 Newton迭代法及其收敛性204

4.2 Newton迭代法的修正209

4.3 重根的处理210

5弦割法与抛物线法213

5.1 弦割法214

5.2 抛物线法216

6代数方程求根217

6.1 多项式方程求根的Newton法218

6.2 劈因子法219

7解非线性方程组的Newton迭代法222

习题224

第七章 矩阵特征值和特征向量的计算227

1乘幂法与反幂法228

1.1 乘幂法228

1.2 幂法的加速技巧234

1.3 反幂法237

2实对称矩阵的Jacobi方法240

2.1 Jacobi方法241

2.2 Jacobi法的变形247

3对称矩阵的Givens-Householder方法249

3.1 三对角化过程249

3.2 用二分法求特征值253

3.3 特征向量的计算260

4 QR方法260

4.1 QR算法261

4.2 QR方法的收敛性262

5矩阵的广义特征值问题262

习题264

第八章 常微分方程数值解法266

1几种简单的单步法267

1.1 Euler公式267

1.2 向后Euler公式270

1.3 梯形公式271

1.4 改进的Euler公式272

1.5 Euler两步公式及其改进274

2 Runge-Kutta方法276

2.1 Taylor级数法276

2.2 Runge-Kutta方法278

3单步法的收敛性、相容性和稳定性283

3.1 收敛性283

3.2 相容性286

3.3 稳定性287

4线性多步法289

4.1 用数值积分方法构造线性多步法289

4.2 用Taylor级数展开构造线性多步法294

5常微分方程组和高阶微分方程的数值解法298

5.1 一阶方程组298

5.2 高阶微分方程300

6刚性方程及方程组302

7边值问题的数值解法306

7.1 试射法307

7.2 差分法308

习题312

参考文献317

附录319

正交多项式319