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第一章　微分算子级数法知识1

1　微分算子及其性质1

1.1　微分算子和微分算子级数1

1.2　几个常用的微分算子3

1.3　微分算子p（D）的性质3

1.4　微分算子p（D）的运算公式4

2　线性算子的几个概念6

2.1 线性算子6

2.2　有界线性算子7

2.3 算子的有界性与函数的有界性9

3　逆微分算子p-1（D）的性质和运算公式10

3.1 逆算子10

3.2　逆微分算子p-1（D）的性质12

3.3 p-1（D）的运算公式12

4　数值算子及其性质14

4.1 问题的提出14

4.2 数值算子15

4.3 数值算子的性质15

5　几个微分算子和算子p-1（D）的幂级数展开17

5.1 逆微分算子p-1（D）的幂级数展开式17

5.2 几个常用的微分算子幂级数展开式18

5.3 三个微积分算子的幂级数展开20

5.4 常用的微分算子公式21

5.5　微分算子和微分算子级数27

6　数值算子的简单应用30

6.1 求常系数线性非齐次常微分方程的特解30

6.2 计算积分31

7　小结32

参考文献33

第二章　微分算子级数法在微积分学中的应用34

1　积分学的回顾34

1.1 积分学及其各种积分间的关系34

1.2 用DSM计算的积分分类35

2　一元不定积分的分部积分与DSM计算36

2.1 分部积分法积分的题型36

2.2 分部积分题型的DSM分类38

2.3 pn(x)eβx型积分38

2.4 ？(x)sinβx,？(x)cosβx型积分42

2.5 eaxsinβx,eaxcosβx型积分45

2.6 xnlnβx,xnarcsinx,xnarccosx型积分48

3　一元定积分的分部积分与DSM运算51

3.1　定积分定理和公式51

3.2　定积分的例题54

4　双曲函数的积分和DSM57

4.1　分部积分含双曲函数的积分分类57

4.2　双曲函数积分的DSM计算定理和公式58

4.3　双曲函数积分举例62

5　广义积分与DSM65

5.1　广义积分概念65

5.2　广义积分的计算原则66

5.3　广义积分的计算公式和DSM的计算例题67

6　算子ea2t△与广义积分73

6.1 算子ea2t△的运算公式73

6.2　一维广义积分的DSM计算公式73

6.3　例题74

7　二重积分与DSM80

7.1　二重积分化为单重积分计算80

7.2　用微分算子ea2t△计算重积分81

7.3　正态分布的随机变量的数字特征82

7.4　用微分算子1/a？△sh（at？△）计算重积分84

8　变上限积分与DSM86

8.1　变上限积分的DS计算公式86

8.2　例题88

9　多项式级数与近似计算90

9.1　泰勒（Taylor）级数的回顾90

9.2　多项式级数和近似计算92

10　计算公式和小结97

10.1 公式97

10.2　小结102

参考文献105

第三章　微分算子级数法在概率论中的应用107

1 正态分布随机变量的数字特征的微分算子级数公式107

1.1　数字特征的统一计算公式107

1.2　泊松积分及其微分算子级数公式109

1.3　数字特征的微分算子级数计算公式111

2　几个数字特征的计算112

2.1　正态分布的数学期望和方差112

2.2　指数分布的数学期望和方差114

2.3　随机变量函数的数字特征117

2.4　矩的计算122

2.5　随机变量函数矩的计算126

3　协方差和相关系数的计算130

3.1　协方差和相关系数130

3.2　协方差的微分算子级数计算法131

3.3　相关系数的计算132

4　小结141

参考文献144

第四章　微分算子级数法与复变函数145

前言145

1　原函数与不定积分146

1.1 原函数与不定积分定义146

1.2　分部积分问题148

1.3　含lnz和arcsinz的积分149

2　几个广义积分的计算151

2.1　积分公式的推导151

2.2　例题152

3　傅里叶变换154

3.1　积分变换与DSM154

3.2　傅里叶变换的定义154

3.3　例题156

3.4　傅里叶变换的应用举例162

4　拉普拉斯变换166

4.1　拉普拉斯变换的定义166

4.2　例题167

4.3　用拉氏变换解微分方程172

5　积分变换法和DSM比较178

5.1　复变函数与DSM178

5.2　积分变换法与DSM比较（兼小结）179

参考文献181

第五章　常微分方程（组）的DSM解法182

1 引言182

1.1　微分方程求解的回顾182

1.2　微分算子级数法和数值算子183

1.3　算子法，积分变换法与DSM比较184

1.4　本章的计划184

2　线性算子185

2.1　n阶线性微分方程和线性微分算子185

2.2　非齐次和齐次方程的解185

2.3　函数的线性相关和线性组合186

3　分离变量方程187

3.1　分离变量方程解的回顾187

3.2　解法改写188

4 一阶线性微分方程的求解与常数变异问题189

4.1 一阶线性微分方程求解中的问题189

4.2 一阶线性微分方程的新解法190

4.3　新解法意义191

5 高阶齐次常系数线性微分方程的通解192

5.1　算子特征方程，特征根192

5.2　n阶齐次常系数线性常微分方程的通解193

6　n阶常系数非齐次线性微分方程的解198

6.1　特解公式的推导198

6.2　例题199

6.3　二阶线性微分方程的物理背景及其解207

7　常系数线性微分方程组214

7.1　公式的推导214

7.2　解常系数线性常微分方程组的例题217

8　Euler方程和变系数方程222

8.1　微分算子级数法与变系数微分方程222

8.2　解Euler方程的例题224

8.3　一般的变系数线性常微分方程的求解227

9　本征值问题232

9.1　本征值问题233

9.2　斯图姆——刘维尔问题233

9.3　本征值的性质239

9.4　S—L方程和边界条件分类240

9.5　第一边值问题及本征函数242

9.6　第二边值问题及本征函数243

9.7　第三边值问题及其本征函数245

10　小结250

参考文献254

第六章　热传导方程的DSM解法255

1　偏微分方程的基本概念255

1.1　几个定义255

1.2　线性算子258

1.3　定解问题261

2　迭加原理262

2.1　线性问题262

2.2　解的迭加263

2.3　迭加原理的定义264

3　偏微分算子的几个概念265

3.1　几个偏微分算子符号265

3.2　算子的性质266

3.3　数值算子及其有关展开式266

3.4　柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理267

3.5　周期为21的周期函数的傅里叶级数268

4　微分算子指数eA及其计算公式269

4.1　算子的范数269

4.2　微分算子指数eA的定义270

4.3 ea2t△与几个常用函数的运算公式270

5　热传导定解问题及其求解公式271

5.1　热传导定解问题272

5.2　柯西问题与混合问题解的存在、唯一性276

5.3　柯西问题解的公式277

6　热传导方程柯西问题的微分算子解279

6.1　微分算子级数解的公式279

6.2　解柯西问题的例282

7　热传导方程的混合问题287

7.1　齐次化原理287

7.2　混合问题的求解思路287

7.3　第一类边界条件的混合问题288

7.4　第二类边界条件的混合问题290

7.5　第三类边界条件的混合问题292

7.6　求混合问题解的例题294

8　非齐次热传导方程的微分算子级数解和泊松积分300

8.1　一维积分公式和例题300

8.2　二维积分公式和例题302

8.3　三维积分公式和例题303

9　小结304

参考文献305

第七章　波动方程的DSM解法306

1　弦振动方程和定解条件的提法306

1.1　弦振动方程306

1.2　弦振动方程的定解条件307

1.3　高维波动方程309

1.4　波动方程柯西问题与混合问题解的存在性和唯一性309

1.5　波动方程柯西问题解的公式313

2　双曲正、余弦微分算子及其有关的运算公式315

2.1　双曲正、余弦微分算子的导出315

2.2 双曲正、余弦微分算子有关的运算公式316

3　波动方程柯西问题的微分算子解317

3.1　齐次化原理317

3.2　波动方程柯西问题的微分算子解318

4　波动方程混合问题的求解327

4.1　波动方程混合问题的求解思路327

4.2　弦振动方程的第一边值条件混合问题解的公式329

4.3　弦振动方程级数解的物理意义331

4.4　弦振动方程第二边值条件混合问题解的公式334

4.5　弦振动方程第三边值条件混合问题解的公式337

4.6　波动方程混合问题的例题340

5　非齐次波动方程的微分算子解和一类积分的微分计算350

5.1　一维积分公式和例题350

5.2　二维积分公式和例题352

5.3　三维积分公式和例题353

6　小结355

参考文献358

第八章　DSM与其它数学问题359

1　椭圆型方程和边值问题359

1.1　典型的椭圆型方程359

1.2　边值问题的分类361

2　正、余弦微分算子及其运算公式362

2.1　正、余弦微分算子的导出362

2.2　正、余弦算子的运算公式363

2.3　迭加原理365

2.4　柯西问题的例题366

3　边值问题的级数解368

3.1　解法思路368

3.2　边值问题求解举例369

3.3　Poisson方程柯西问题解的应用376

4　积分方程与DSM379

4.1　积分方程的概念379

4.2　用DSM解积分方程的例题382

4.3　用正弦变换解积分方程386

5　DSM与其它问题387

5.1　DSM与泛函分析387

5.2　DSM与非线性微分方程389

5.3　DSM与计算科学389

6　小结390

参考文献391

附录一：变系数线性发展微分方程与DS解392

前言392

1　高阶发展方程Cauchy问题的微分算子级数解393

1.1　定义393

1.2　定理（柯西问题的解析解）394

1.3　推论396

2　高阶发展方程混合问题的DS解398

2.1　定义398

2.2　定理400

3　半无界问题和初边值问题405

3.1　半无界问题406

3.2　初边值问题409

4　关于（？/？t-r）LU=□U的DS解411

4.1 思路和定理411

4.2　例题418

5　微分算子级数的可解类型419

5.1　类型和求解公式419

5.2　小结423

参考文献425

附录二：偏微分方程的简史426

1　前言426

2　偏微分方程简史的世界部分428

2.1　十八世纪是P·D·E·的幼年时期428

2.2　十九世纪是P·D·E·的快速发展的年代429

2.3　二十世纪是P·D·E·突飞猛进的年代430

3　P·D·E·简史的中国部分431

3.1 旧中国的偏微分方程431

3.2　P·D·E·工作开创发展的十八年（1949-1966年）432

3.3　恢复追赶的十年（1977-1987）434

3.4　成果列举437

参考文献440

附录三：有关写“我国P·D·E·发展简史”的函件摘录441

一、中国科学院数学研究所微分方程室吴新谋主任的回函441

二、武汉大学陈肇兰教授的回函（摘录）442

三、四川大学陆文端教授的回信摘录443

四、西北大学凌岭教授的回信摘录444

五、兰州大学王明亮教授的回信摘录444

六、中山大学梁？廷教授的回信摘录444

七、北京师范大学洪良辰教授的回信摘录445

八、北京航空学院陆启韶教授的回信摘录446

九、关心、支持和帮助写“我国P·D·E·发展简史”的专家、学者447

十、歉意447

编后语448

一、内容概括448

二、DSM的作用449

三、未来的任务451