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第一章 函数与极限1

第一节 函数1

一、集合1

二、一元函数的定义2

三、函数的几种特性7

四、反函数9

习题1-110

第二节 初等函数12

一、基本初等函数12

二、复合函数16

三、初等函数16

四、双曲函数16

主要概念的背景与应用——函数18

习题1-219

第三节 数列的极限20

一、数列21

二、数列极限的定义21

三、收敛数列的性质25

习题1-327

第四节 函数的极限28

一、自变量趋向无穷大时函数的极限28

二、自变量趋向有限值时函数的极限30

三、函数极限的性质33

习题1-435

第五节 无穷小与无穷大36

一、无穷小36

二、无穷大37

习题1-539

第六节 极限运算法则39

习题1-646

第七节 极限存在准则 两个重要极限47

一、极限存在的两个准则47

二、几个重要不等式48

三、两个重要极限51

四、杂例53

习题1-755

第八节 无穷小的比较56

主要概念的背景与应用——极限58

习题1-859

第九节 函数的连续性59

一、函数连续的定义59

二、函数的间断点61

习题1-963

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性63

一、连续函数的和、积及商的连续性63

二、反函数与复合函数的连续性64

三、初等函数的连续性65

习题1-1066

第十一节 闭区间上连续函数的性质67

一、最大值和最小值定理67

二、介值定理68

主要概念的背景与应用——连续70

习题1-1170

第二章 导数与微分72

第一节 导数的概念72

一、引例72

二、导数的定义74

三、求导数举例75

四、导数的几何意义78

五、函数的可导性与连续性之间的关系78

六、差商79

习题2-180

第二节 函数的求导法则82

一、函数的和、差、积、商的求导法则82

二、反函数的导数85

三、复合函数的导数86

习题2-292

第三节 高阶导数94

习题2-398

第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数99

一、隐函数的导数99

二、对数求导法101

三、由参数方程所确定的函数的导数102

四、相关变化率105

习题2-4106

第五节 函数的微分108

一、微分的概念108

二、微分的运算公式110

三、微分的应用112

主要概念的背景与应用——导数与微分115

习题2-5116

第三章 中值定理与导数的应用118

第一节 中值定理118

一、罗尔定理118

二、拉格朗日中值定理119

三、柯西中值定理122

习题3-1123

第二节 洛必达法则124

习题3-2129

第三节 泰勒中值定理130

习题3-3136

第四节 函数单调性判别法137

习题3-4140

第五节 函数的极值与最值141

一、函数的极值及其求法141

二、函数的最值及其求法144

习题3-5148

第六节 曲线的凹凸性与拐点149

习题3-6152

第七节 函数作图153

一、斜渐近线153

二、函数作图154

习题3-7156

第八节 曲线的曲率157

一、曲率的概念157

二、曲率的计算公式158

三、曲率圆与曲率半径159

习题3-8161

第九节 方程的近似解161

一、两分法162

二、牛顿法163

习题3-9164

第四章 不定积分165

第一节 不定积分的概念与性质165

一、原函数与不定积分的概念165

二、基本积分表168

三、不定积分的性质170

习题4-1172

第二节 换元积分法172

一、第一类换元法173

二、第二类换元法179

习题4-2184

第三节 分部积分法186

一、分部积分法186

二、杂例189

习题4 -3191

第四节 几种特殊类型函数的积分192

一、有理函数的积分192

二、三角函数有理式的积分196

三、简单无理函数的积分举例197

习题4-4199

第五章 定积分200

第一节 定积分的概念200

一、引例200

二、定积分的定义203

习题5-1205

第二节 定积分的性质206

习题5 -2210

第三节 微积分基本公式210

习题5 -3216

第四节 定积分的换元法与分部积分法218

一、定积分的换元法218

二、定积分的分部积分法222

三、杂例225

主要概念的背景与应用——不定积分与定积分228

习题5 -4229

第五节 定积分的近似计算231

一、梯形法231

二、抛物线法232

习题5 -5233

第六节 反常积分初步234

一、积分区间为无穷的反常积分234

二、无界函数的反常积分236

三、Γ函数238

习题5 -6239

第六章 定积分的应用241

第一节 定积分的元素法241

第二节 平面图形的面积242

一、直角坐标情形242

二、极坐标情形244

习题6-2247

第三节 体积248

一、旋转体的体积248

二、平行截面面积为已知的立体的体积250

习题6-3251

第四节 平面曲线的弧长252

一、直角坐标情形252

二、参数方程情形253

三、极坐标方程情形254

习题6-4255

第五节 定积分的其他应用256

一、功256

二、液体压力258

三、引力258

四、工程上的应用260

习题6 -5263

第七章 常微分方程266

第一节 常微分方程的基本概念266

习题7-1269

第二节 可分离变量的微分方程270

习题7 -2273

第三节 齐次方程274

习题7 -3277

第四节 一阶线性微分方程278

一、一阶线性微分方程278

二、伯努利方程282

习题7-4284

第五节 可降阶的高阶微分方程285

一、y（n）=f（x）型的微分方程285

二、y"=f（x， y'）型的微分方程286

三、y"=f （y ，y'）型的微分方程287

习题7 -5288

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构289

习题7 -6295

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程296

习题7-7300

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程301

一、非齐次项 f（x） = Pm （x） eλx302

二、非齐次项f（x） =eλx[Pl（x） cos ωx +Pn（x）sinωx]305

习题7-8307

第九节欧拉方程308

习题7-9310

第十节常微分方程组解法举例310

习题7-10311

第十一节微分方程应用举例312

习题7-1 1321

附录一 微积分学简史322

附录二Mathematica使用初步329

附录三 二阶和三阶行列式介绍346

附录四 极坐标介绍349

习题答案与提示353

参考文献381