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第1章 计算方法概论1

1.1引言1

1.1.1计算方法的意义1

1.1.2计算方法的特点与任务1

1.2算法与效率3

1.2.1算法3

1.2.2算法的效率4

1.3计算机机器数系与浮点运算6

1.3.1二进制数与计算机机器数系6

1.3.2数据的表示与浮点运算8

1.4误差10

1.4.1误差的概念10

1.4.2四则运算与函数求值的误差12

1.5问题的性态与算法的数值稳定性15

1.5.1问题的性态与条件数15

1.5.2算法的数值稳定性17

1.6应用实例与MATLAB22

1.6.1 MATLAB简介22

1.6.2应用实例26

小结27

习题127

数值实验129

第2章 数值计算的理论基础31

2.1度量空间与压缩映射31

2.1.1距离与极限31

2.1.2压缩映射32

2.2内积34

2.2.1线性空间34

2.2.2内积空间与元素的夹角35

2.3范数37

2.3.1赋范线性空间37

2.3.2向量范数与矩阵范数39

小结44

习题245

第3章 非线性方程求根47

3.1引言47

3.1.1问题的背景47

3.1.2基本概念47

3.2二分法48

3.3不动点迭代法50

3.3.1不动点迭代50

3.3.2不动点迭代的收敛性、误差估计52

3.4牛顿迭代法56

3.4.1牛顿迭代法及其收敛性56

3.4.2牛顿迭代法的变形58

3.5迭代法收敛阶与加速收敛61

3.5.1迭代法收敛阶61

3.5.2重根的计算63

3.5.3加速收敛65

3.6应用实例与MATLAB68

3.6.1多项式求根68

3.6.2应用实例71

小结73

习题373

数值实验375

第4章 线性方程组的直接解法77

4.1引言77

4.2 Gauss消元法78

4.2.1回代法78

4.2.2 Gauss顺序消元法79

4.2.3选主元消元法83

4.2.4 Gauss消元法的计算量与稳定性87

4.3矩阵分解与应用89

4.3.1矩阵的直接LU分解89

4.3.2追赶法93

4.3.3平方根法96

4.4误差分析100

4.4.1方程组的误差估计100

4.4.2矩阵的条件数与迭代求精法101

4.5应用实例与MATLAB103

小结108

习题4108

数值实验4110

第5章 方程组的迭代解法113

5.1引言113

5.2线性方程组的迭代解法113

5.2.1常用迭代法114

5.2.2迭代法收敛性分析120

5.3非线性方程组的迭代解法131

5.3.1简单迭代法131

5.3.2牛顿迭代法134

5.3.3最速下降法136

5.4应用实例与MATLAB138

小结141

习题5142

数值实验5144

第6章 矩阵特征值的数值计算147

6.1引言147

6.2幂法与反幂法149

6.2.1幂法与加速方法149

6.2.2反幂法158

6.3矩阵的正交分解160

6.3.1豪斯荷尔德变换和吉凡斯变换160

6.3.2矩阵正交相似上海森伯格阵165

6.4 QR方法168

6.4.1矩阵的QR分解168

6.4.2 QR方法171

6.4.3 QR方法的改进172

6.5雅可比方法176

6.6应用实例与MATLAB180

6.6.1 MATLAB中关于特征值与矩阵分解相关的命令180

6.6.2应用实例181

小结186

习题6186

附录6187

数值实验6190

第7章 插值法193

7.1引言193

7.1.1问题描述193

7.1.2代数插值194

7.2拉格朗日插值195

7.2.1线性插值和抛物插值195

7.2.2拉格朗日插值多项式196

7.2.3插值余项与误差估计197

7.3牛顿插值199

7.3.1差商及其性质199

7.3.2牛顿插值多项式及其插值余项201

7.3.3差分与等距结点牛顿插值204

7.4埃尔米特插值207

7.4.1埃尔米特插值多项式207

7.4.2埃尔米特插值余项209

7.5分段低次插值多项式210

7.5.1龙格现象与分段线性插值210

7.5.2分段三次埃尔米特插值多项式212

7.6三次样条插值213

7.6.1三次样条函数的概念213

7.6.2三弯矩法求三次样条插值函数215

7.7二维插值221

7.8应用实例与MATLAB224

7.8.1一维插值224

7.8.2高维插值226

小结230

习题7230

附录7233

数值实验7239

第8章 函数逼近与曲线拟合243

8.1引言243

8.2正交多项式244

8.2.1正交函数系244

8.2.2勒让德多项式246

8.2.3切比雪夫多项式248

8.2.4其他常用的正交多项式249

8.3最佳平方逼近250

8.3.1问题描述与求解250

8.3.2基于幂函数的最佳平方逼近252

8.3.3基于正交函数的最佳平方逼近255

8.4曲线拟合的最小二乘法258

8.4.1问题描述与求解258

8.4.2基于正交函数的最小二乘法262

8.5最佳平方三角逼近与离散傅里叶变换264

8.6有理逼近268

8.7应用实例与MATLAB272

8.7.1函数逼近272

8.7.2数据拟合273

8.7.3快速傅里叶变换与三角插值277

小结277

习题8278

数值实验8281

第9章 数值积分与数值微分283

9.1引言283

9.2插值型求积公式284

9.2.1代数精度285

9.2.2牛顿-柯特斯积分286

9.2.3牛顿-柯特斯公式的求积余项和数值稳定性288

9.2.4复化求积公式290

9.2.5自适应求积公式293

9.3理查森外推法与龙贝格求积公式295

9.3.1理查森外推加速法295

9.3.2龙贝格求积公式296

9.4高斯求积公式299

9.4.1高斯型求积公式300

9.4.2几种常用高斯型求积公式302

9.5多重积分的数值计算308

9.5.1插值型求积公式308

9.5.2重积分的复化公式310

9.5.3计算多重积分的高斯法312

9.6数值微分313

9.6.1插值型数值微分316

9.6.2数值微分的外推法318

9.7应用实例和MATLAB320

9.7.1 MATLAB中关于积分的命令320

9.7.2应用实例322

小结323

习题9324

数值实验9325

第10章 常微分方程初值问题的数值解法327

10.1引言327

10.2初值问题解法的基本概念327

10.3简单单步法328

10.3.1欧拉方法328

10.3.2梯形公式与改进的欧拉方法331

10.4单步法的误差与稳定性334

10.4.1单步法的截断误差与阶334

10.4.2单步法的收敛性336

10.4.3单步法的稳定性337

10.5高阶单步方法339

10.5.1泰勒方法339

10.5.2龙格-库塔方法340

10.6线性多步法345

10.6.1亚当姆斯显式法346

10.6.2亚当姆斯隐式法349

10.6.3线性多步法的稳定性351

10.6.4亚当姆斯预测—校正法353

10.7一阶微分方程组与高阶微分方程356

10.7.1一阶微分方程组的数值解法356

10.7.2高阶微分方程357

10.8应用实例与MATLAB359

10.8.1 MATLAB关于常微分方程初值问题数值解法的命令359

10.8.2应用实例360

小结363

习题10363

数值实验10365

第11章 常微分方程边值问题的数值解法367

11.1引言367

11.2打靶法367

11.3有限差分方法372

11.4应用实例与MATLAB375

11.4.1 MATLAB关于常微分方程边值问题数值解法的命令375

11.4.2应用实例375

小结379

习题11380

数值实验11381

部分习题参考答案383

参考文献396