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第一篇 场的数学描写方法1

第一章 数量场的梯度1

1 场和场的图解1

1.1 场的概念和场的数学表示方法1

1.2 场的分类和场的图形表示法3

2 方向导数8

2.1 方向导数的定义8

2.2 方向导数的计算公式9

3 梯度12

3.1 梯度的定义12

3.2 梯度的性质及其另一种定义13

3.3 梯度的运算法则14

4 梯度的几何性质17

4.1 梯度的几何性质17

4.2 梯度场的几何作法20

第二章 矢量场的散度23

1 散度及其计算公式23

1.1 发散量23

1.2 散度25

1.3 散度在直角坐标下的计算公式27

1.4 散度的运算法则30

2 Gauss定理32

2.1 Gauss定理32

2.2 Gauss定理在积分计算中的应用35

2.3 Gauss定理与三重积分的分部积分38

2.4 质量守恒与连续性方程39

第三章 矢量场的旋度43

1 涡旋量及其计算43

1.1 旋转量（环量）43

1.2 涡旋量46

1.3 涡旋量的计算公式48

2 旋度及其计算52

2.1 空间矢量场的旋度52

2.2 旋度在直角坐标系下的计算公式53

3 Green公式和Stokes公式56

3.1 Green公式56

3.2 Stokes公式59

3.3 Green公式和Stokes公式在积分计算中的应用61

3.4 Green公式与二重积分的分部积分65

3.5 两个基本方程的建立66

4 位场和标量势69

4.1 空间矢量场的标量势70

4.2 平面矢量场的标量势78

第四章 ？算符和三度在球、柱坐标系下的计算式81

1 ？算符及其运算法则81

1.1 ？算符81

1.2 ？算符的运算法82

1.3 ？算符的线性运算性质86

1.4 ？算符的复合运算法则86

2 梯度、散度、旋度、？ 2算符在柱坐标系下的计算式89

2.1 ？算符在柱坐标系下的表达式89

2.2 单位矢量er、eψ、ez的“微商”公式90

2.3 散度在柱坐标系下的计算式91

2.4 旋度在柱坐标系下的计算式92

2.5 ？ 2算符在柱坐标系下的表达式93

3 梯度、散度、旋度、？2算符在球坐标系下的计算式94

3.1 ？算符在球坐标系下的表达式94

3.2 单位矢量er、eθ、eψ的“微商”公式95

3.3 散度在球坐标系下的计算式96

3.4 旋度、？ 2算符在球坐标系下的表达式97

第二篇 无穷级数100

第五章 数值级数100

1 级数的收敛、发散概念101

1.1 收敛、发散概念101

1.2 级数的基本性质103

2 正项级数的收敛、发散判别法107

2.1 比较判别法108

2.2 D'Alembert判别法、Cauchy判别法112

2.3 积分判别法115

3 任意项级数的敛散性判别118

3.1 Cauchy收敛准则、Leibniz判别法118

3.2 绝对收敛与条件收敛122

3.3 Abel判别法和Dirichlet判别法123

3.4 级数的乘法125

第六章 函数级数128

1 收敛域、函数级数的和函数128

1.1 收敛域的概念128

1.2 和函数的概念130

1.3 和函数与函数级数的逐点收敛130

2 函数级数的一致收敛131

2.1 一致收敛的概念131

2.2 一致收敛的判别法134

2.3 内部一致收敛138

3 和函数的性质140

3.1 和函数的连续性141

3.2 逐项积分性质142

3.3 逐项微商定理143

第七章 幂级数145

1 收敛域的结构与求法145

1.1 Abel引理及其推论145

1.2 收敛域的结构与求法147

1.3 幂级数的乘法150

2 和函数的性质153

2.1 内部一致收敛的性质153

2.2 逐项求导幂级数的收敛半径153

2.3 和函数的性质155

3 初等函数的幂级数展开159

3.1 必要条件159

3.2 充分条件161

3.3 初等函数在x=0点的Taylor展式163

第八章 Fourier级数169

1 形式Fourier级数169

1.1 形式Fourier级数169

1.2 求形式Fourier级数的例子171

1.3 Besel不等式和Riemann引理173

2 收敛定理176

2.1 引理和命题176

2.2 收敛定理及其推论183

3 一般区间上的Fourier级数展开192

3.1 收敛定理及其推论192

3.2 展开例子195

4 广义Fourier级数197

4.1 内积概念和基本不等式197

4.2 正交归一化系199

4.3 广义Fourier级数及其收敛概念199

4.4 完全系的概念及其判别201

第三篇 常微分方程204

第九章 一阶微分方程的解法204

1 常微分方程举例和基本概念205

1.1 常微分方程举例205

1.2 基本概念205

2 可分离变量的方程209

2.1 可分离变量的方程209

2.2 齐次方程210

2.3 准齐次方程212

3 一阶线性方程215

3.1 齐次线性方程216

3.2 非齐次线性方程216

3.3 Bernoulli方程218

4 恰当方程和积分因子222

4.1 恰当方程的概念222

4.2 恰当方程的判别223

4.3 积分因子的概念227

4.4 积分因子的求法228

5 一阶隐式方程234

5.1 参数形式的解235

5.2 方程y=f(x,y′)236

5.3 方程x=f(y,y′)237

第十章 高阶方程和方程组的解法240

1 特殊的非线性高阶方程的解法240

1.1 dny/dxn=f(x)型的方程240

1.2 y″=f(x,y′)型的方程242

1.3 y″=f(y,y′)型的方程243

1.4 解题的灵活性244

2 二阶线性方程的解法247

2.1 通解结构定理247

2.2 置换法和视常数为变数法248

2.3 常系数齐次线性方程的通解252

2.4 待定系数法255

2.5 幂级数解法259

3 方程组的初等积分法263

3.1 方程组的概念263

3.2 方程组中的名称264

3.3 方程组的解法266

第十一章 高阶线性方程274

1 解的存在与唯一性定理274

1.1 Lipschitz条件274

1.2 一阶正规形方程解的存在与唯一性定理275

1.3 高阶线性方程解的存在与唯一性定理279

2 函数间的线性关系279

2.1 函数的线性相关和线性无关279

2.2 相关性的判别281

3 通解结构定理285

3.1 齐次方程通解的结构定理285

3.2 非齐次方程通解的结构定理287

3.3 常系数齐次方程的基本解组288

3.4 解非齐次方程的待定系数法291

3.5 欧拉方程293

4 奇解296

4.1 奇解的概念296

4.2 奇解的求法298

第十二章 一阶偏微分方程307

1 名称和基本概念307

1.1 一阶偏微分方程307

1.2 通解和特解308

2 一阶线性齐次方程309

2.1 特征方程组309

2.2 首次积分与通解311

2.3 多个自变量的线性齐次方程316

3 一阶拟线性方程318

3.1 拟线性方程的解法318

3.2 初值问题的解法320

答案与提示324