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第一章 Cauchy型积分1

1.1 Cauchy型积分的意义1

1 1.1 Cauchy型积分的定义1

1.1.2 分区全纯函数4

1.2 Plemelj公式7

1.2.1 Cauchy主值积分7

1.2.2 曲线上弧长与弦长的关系11

1.2 3 H？lder条件16

1.2.4 Cauchy主值积分存在的一个充分条件21

1.2 5 Plemelj公式23

1.3 Cauchy型积分边值的性质29

1.3.1 Privalov定理29

1.3.2 Cauchy型积分边值的导数37

1.4 核密度中含有参数的Cauchy主值积分和积分换序问题38

1.4.1 核密度带参数的Cauchy主值积分38

1.4.2 积分换序问题44

1.4.3 Cauchy主值积分反演公式52

1.5 无穷直线上的Cauchy型积分56

1.5.1 ？类56

1.5.2 实轴上的Cauchy型积分及其性质58

1.6 解析函数边值的条件62

1.6.1 全纯函数边值的条件62

1.6.2 亚纯函数边值的条件65

1.7 高阶奇异积分和留数定理的推广68

1.7.1 Cauchy定理的推广68

1.7.2 高阶奇异积分71

1.7.3 留数定理的推广77

第二章 封闭曲线情况下的基本边值问题87

2.1 引言87

2.1.1 Riemann边值问题的提法87

2.1.2 跳跃问题及其解法88

2.2 齐次Riemann边值问题90

2.2.1 齐次R问题与指标概念90

2.2.2 齐次R问题的解法——简单情况91

2.2.3 典则函数94

2.2.4 齐次R问题的解法——一般情况95

2.3 非齐次Riemann边值问题97

2.3.1 非齐次R问题的求解97

2.3.2 相联R问题100

2.4 无穷曲线上的Riemann边值问题101

2.4.1 实轴上的R问题101

2.4.2 几点说明106

2.5 非正则型的Riemann边值问题107

2.5.1 齐次问题107

2.5.2 非齐次问题109

2.6 Hilbert边值问题112

2.6.1 问题的提法112

2.6.2 单位圆内的函数在圆外的对称扩张113

2.6.3 单位圆的H问题115

2.6.4 半平面中的H问题122

2.7 复合边值问题127

2.7.1 复合边值问题的提法与转化127

2.7.2 RH问题的求解130

2.8 周期边值问题133

2.8.1 周期Riemann边值问题的提法与转化133

2.8.2 齐次PR问题137

2.8.3 非齐次PR问题142

2.8.4 周期Hilbert边值问题148

2.9 双周期Riemann边值问题154

2.9.1 椭圆函数154

2.9.2 双周期Riemann边值问题的提法与跳跃问题的解法157

2.9.3 一般DR边值问题的解法159

2.10 双准周期的Riemann边值问题164

2.10.1 双准周期解析函数164

2.10.2 加法双准周期的R问题167

2.10.3 乘法双准周期的R问题168

2.11 双周期解析函数Dirichlet问题174

2.11.1 双周期解析函数的积分表示式174

2.11.2 双周期Dirichlet问题178

2.12 双准周期解析函数Dirichlet问题182

2.12.1 加法双准周期Dirichlet问题182

2.12.2 乘法双准周期的齐次Dirichlet问题188

2.12.3 乘法双准周期解析函数的积分表示式192

2.12.4 乘法双准周期的非齐次Dirichlet问题196

2.13 双周期解析函数的Hilbert问题200

2.13.1 MQ正规化200

2.13.2 双周期Hilbert边值问题203

第三章 封闭曲线情况下的奇异积分方程207

3.1 Cauchy核的奇异积分方程和奇异算子207

3.1.1 一般概念207

3.1.2 奇异算子的性质210

3.2 特征方程及其相联方程的解法212

3.2.1 特征方程的解法212

3.2.2 特征方程的相联方程的解法215

3.2.3 特征方程的Noether定理217

3.3 奇异积分方程的正则化及一般的Noether定理219

3.3.1 奇异积分方程的正则化219

3.3.2 Noether定理220

3.4 含周期核的奇异积分方程223

3.4.1 Hilbert核的奇异积分方程223

3.4.2 含ζ函数核的奇异积分方程231

3.5 一类奇异积分方程的直接解法237

3.5.1 引言237

3.5.2 求解的一般方法240

3.5.3 a(z)±b(z)无相同零点的正则型情况244

3.5.4 a(z)±b(z)无相同零点的非正则型情况248

3.5.5 a(z)±b(z)有相同零点的情况258

3.5.6 一些应用264

第四章 一般情况下的边值问题268

4.1 Cauchy型积分在端点附近的性质268

4.1.1 核密度属H类的情况268

4.1.2 H类函数271

4.1.3 核密度属H＊类时Cauchy型积分的性质276

4.1.4 核密度属H＊类时Cauchy主值积分的性质282

4.1.5 积分路径具有节点的情况285

4.2 一般Riemann边值问题286

4.2.1 开口弧段上的R问题286

4.2.2 带节点曲线上的R问题294

4.2.3 相联R问题297

4.2.4 几种重要特殊情况298

4.3 间断系数的Hilbert边值问题303

4.3.1 单位圆情况303

4.3.2 半平面情况306

4.4 其他边值问题312

4.4.1 一般复合边值问题312

4.4.2 一般的PR问题315

4.4.3 开口弧段的DR问题321

4.4.4 开口弧段的QR问题333

第五章 一般情况下的奇异积分方程345

5.1 特征方程及其相联方程345

5.1.1 特征方程345

5.1.2 相联方程349

5.1.3 一般Cauchy主值积分的反演351

5.2 完全奇异积分方程354

5.2.1 正则化问题354

5.2.2 正则化方程的讨论357

5.2.3 一般情况下的Noether定理361

5.3 一般带周期核的奇异积分方程368

5.3.1 曲线带节点的Hilbert核奇异积分方程368

5.3.2 一般Hilbert核积分的反演370

5.3.3 实轴上的Hilbert核积分的反演383

5.3.4 修改的反演问题389

5.3.5 开口弧段上带ζ函数核的奇异积分方程399

5.4 方程具有一阶奇异性解的情况404

5.4.1 Fredholm方程情况404

5.4.2 Cauchy核奇异方程情况407

5.4.3 特征方程及其相联方程的解410

第六章 函数组的边值问题与奇异积分方程组417

6.1 函数组的Riemann边值问题417

6.1.1 一些记号与名称417

6.1.2 齐次R问题化为Fredholm方程420

6.1.3 齐次R问题的典则解组423

6.1.4 齐次R问题的一般解与指标432

6.1.5 函数组的相联齐次R问题437

6 1.6 函数组的非齐次R问题440

6.2 函数组的Hilbert边值问题和复合边值问题443

6.2.1 典则矩阵的一般表示443

6.2.2 函数组的齐次H问题446

6.2.3 函数组的非齐次H问题453

6.2.4 函数组的RH问题454

6.3 奇异积分方程组457

6.3.1 特征奇异积分方程组457

6.3.2 特征方程的相联方程461

6.3.3 完全奇异积分方程组及其正则化463

6.3.4 奇异积分方程组的Noether定理468

6.4 某些直接有效解法472

6.4.1 有理系数矩阵的R问题472

6.4.2 核与系数具解析性的奇异积分方程组476

6.4.3 解析核密度的奇异积分的反演479

第七章 其他问题482

7.1 与某些分式线性变换群相联系的边值问题与奇异积分方程482

7.1.1 分式线性变换群482

7.1.2 与有限分式线性变换群有关的Riemann边值问题486

7.1.3 与有限分式线性变换群有关的奇异积分方程490

7.2 带位移的边值问题和奇异积分方程497

7.2.1 带位移的Riemann边值问题497

7.2.2 保形粘合定理以及SR问题转化为R问题505

7.2.3 其他带位移的边值问题512

7.2.4 带位移的奇异积分方程522

7.3 卷积型线性方程组524

7.3.1 Laurent变换524

7.3.2 (A)型方程组526

7.3.3 (B)型方程组528

7.4 Cauchy主值积分的近似计算529

7.4.1 奇点分离法529

7.4.2 Gauss-Chebyshev型求积公式531

7.4.3 用分段线性函数逼近Cauchy主值积分535

7.5 带根号的边值问题538

7.5.1 带根号的Riemann边值问题538

7.5.2 应用于一种非线性奇异积分方程542

7.5.3 带根号的Hilbert边值问题548

附录 有关Fredholm积分方程的结果552

1.Fredholm定理552

2.预解核554

3.推广557

参考文献558

索引566