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第一篇 高等数学1

第一章 函数 极限 连续1

考点与要求1

1 函数1

内容精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式4

例题分析4

一、求分段函数的复合函数4

二、关于函数有界（无界）的讨论6

2 极限6

内容精讲6

一、定义6

二、重要性质、定理、公式8

三、计算极限的一些有关方法9

例题分析11

一、求函数的极限11

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限16

三、含有|x|，e1/x的X→0时的极限，含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限19

四、无穷小的比较20

五、数列的极限21

六、极限运算定理的正确运用25

3 函数的连续与间断27

内容精讲27

一、定义27

二、重要性质、定理、公式28

例题分析28

一、讨论函数的连续与间断28

二、在连续条件下求参数29

三、连续函数的零点问题29

自测题30

第二章 一元函数微分学33

考点与要求33

1 导数与微分，导数的计算33

内容精讲33

一、定义33

二、重要性质、定理、公式34

例题分析37

一、按定义求一点处的导数37

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数39

三、绝对值函数的导数43

四、由极限式表示的函数的可导性44

五、导数与微分、增量的关系45

六、求导数的计算题45

2 导数的应用48

内容精讲48

一、定义48

二、重要性质、定理、公式与方法48

例题分析50

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论50

二、渐近线52

三、曲率与曲率圆53

四、最大值、最小值问题54

3 中值定理、不等式与零点问题55

内容精讲55

一、重要定理55

二、重要方法56

例题分析57

一、不等式的证明57

二、f（x）的零点与f’（x）的零点问题62

三、复合函数ψ（x，f（x），f’（x））的零点64

四、复合函数ψ（x，f（x），f’（x），f”（x））的零点65

五、“双中值”问题66

六、零点的个数问题66

七、证明存在某ξ满足某不等式67

八、f’（x）与f （x）的一些极限性质的关系68

自测题69

第三章 一元函数积分学73

考点与要求73

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论73

内容精讲73

一、定义73

二、重要性质、定理、公式74

例题分析75

一、分段函数的不定积分与定积分75

二、定积分与原函数的存在性77

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分78

2 不定积分与定积分的计算81

内容精讲81

一、基本积分公式81

二、基本积分方法82

例题分析84

一、简单有理分式的积分84

二、三角函数的有理分式的积分85

三、简单无理式的积分85

四、两种不同类型的函数相乘的积分87

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分88

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分90

七、含参变量带绝对值号的定积分91

3 反常积分及其计算92

内容精讲92

一、定义92

二、重要性质、定理、公式93

例题分析94

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性94

二、关于奇、偶函数的反常积分96

4 定积分的应用97

内容精讲97

一、基本方法97

二、重要几何公式与物理应用98

例题分析99

一、几何应用99

二、物理应用102

5 定积分的证明题105

内容精讲105

例题分析105

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等105

二、由积分定义的函数求极限107

三、积分不等式的证明108

四、零点问题113

自测题115

第四章 向量代数与空间解析几何119

考点与要求119

1 向量代数119

内容精讲119

一、与向量有关的基本概念119

二、向量的运算及性质119

例题分析121

一、向量的运算121

二、向量运算的应用及向量的位置关系122

2 平面与直线124

内容精讲124

一、平面方程124

二、直线方程124

三、平面与直线间的位置关系124

例题分析125

一、建立平面方程125

二、建立直线方程127

三、与平面和直线的位置关系有关的问题129

3 空间曲面与曲线131

内容精讲131

一、旋转面及其方程131

二、柱面及其方程131

三、常见的二次曲面及图形132

四、空间曲线及其方程133

五、空间曲线的投影134

例题分析134

一、建立柱面方程134

二、建立旋转面方程135

三、建立空间曲线的投影曲线方程136

自测题137

第五章 多元函数微分学139

考点与要求139

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分139

内容精讲139

一、多元函数139

二、二元函数的极限与连续139

三、二元函数的偏导数与全微分140

例题分析142

一、讨论二重极限142

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性144

三、讨论二元函数的可微性145

2 多元函数的微分法148

内容精讲148

一、复合函数的偏导数与全微分149

二、隐函数的偏导数与全微分150

例题分析151

一、求复合函数的偏导数与全微分151

二、求隐函数的偏导数与全微分159

3 极值与最值164

内容精讲164

一、无条件极值164

二、条件极值165

例题分析165

一、无条件极值问题165

二、条件极值（最值）问题167

三、多元函数的最大（小）值问题168

4 方向导数与梯度及多元微分在几何上的应用174

内容精讲174

一、方向导数174

二、梯度174

三、曲面的切平面与法线174

四、曲线的切线和法平面175

例题分析175

一、有关方向导数与梯度175

二、有关曲面的切平面和曲线的切线179

自测题181

第六章 多元函数积分学184

考点与要求184

1 重积分184

内容精讲184

一、二重积分184

二、三重积分187

例题分析189

一、计算二重积分189

二、累次积分交换次序及计算198

三、与二重积分有关的综合题200

四、与二重积分有关的积分不等式问题203

五、计算三重积分205

六、三重积分的累次积分209

2 曲线积分210

内容精讲210

一、对弧长的线积分（第一类线积分）210

二、对坐标的线积分（第二类线积分）211

例题分析213

一、对弧长的线积分（第一类线积分）213

二、对坐标的线积分215

3 曲面积分224

内容精讲224

一、对面积的面积分（第一类面积分）224

二、对坐标的面积分（第二类面积分）225

例题分析227

一、对面积的面积分227

二、对坐标的面积分229

4 场论初步234

内容精讲234

一、梯度234

二、通量235

三、散度235

四、旋度235

例题分析235

一、梯度、旋度、散度的计算235

5 多元积分的应用237

内容精讲237

例题分析238

一、几何应用238

二、求物理量239

自测题242

第七章 无穷级数247

考点与要求247

1 常数项级数247

内容精讲247

一、级数的概念与性质247

二、级数的判敛准则248

例题分析249

一、正项级数敛散性的判定249

二、交错级数敛散性的判定253

三、任意项级数敛散性判定256

四、有关常数项级数的证明题与综合题261

2 幂级数266

内容精讲266

一、函数项级数及收敛域与和函数266

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域266

三、幂级数的性质267

四、函数的幂级数展开267

例题分析268

一、求幂级数的收敛域268

二、将函数展开为幂级数271

三、级数求和274

3 傅里叶级数280

内容精讲280

一、三角函数及其正交性280

二、傅里叶级数280

三、收敛性定理280

四、周期为2π的函数的傅里叶展开280

五、周期为2l的函数的傅里叶展开281

例题分析282

一、有关收敛定理的问题282

二、将函数展开为傅里叶级数283

自测题284

第八章 微分方程288

考点与要求288

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法288

内容精讲288

一、定义288

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法289

例题分析291

一、识别类型，对号入座，按类型求解291

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题292

三、积分方程化为微分方程求解293

四、偏微分方程化为常微分方程求解295

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解296

2 二阶及高阶线性微分方程297

内容精讲297

一、定义297

二、重要性质、定理、公式297

例题分析299

一、识别类型，对号入座，按类型求解299

二、用变量代换解微分方程302

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解303

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式304

五、已知方程的解求方程304

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系305

七、欧拉方程求解306

3 微分方程的应用307

内容精讲307

一、几何问题307

二、变化率问题307

三、牛顿第二定律或运动等问题308

四、微元法建立微分方程309

自测题310

第二篇 线性代数312

第一章 行列式312

考点与要求312

内容精讲312

例题分析315

一、数字型行列式的计算315

二、抽象型行列式的计算321

三、行列式|A|是否为零的判定323

四、关于代数余子式求和324

自测题326

第二章 矩阵327

考点与要求327

内容精讲327

1 矩阵的概念及运算327

一、矩阵的概念327

二、矩阵的运算328

三、矩阵的运算规则328

四、特殊矩阵329

2 可逆矩阵330

一、可逆矩阵的概念330

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件330

三、逆矩阵的运算性质330

四、求逆矩阵的方法330

3 初等变换、初等矩阵331

一、定义331

二、初等矩阵与初等变换的性质331

4 矩阵的秩332

一、矩阵秩的概念332

二、矩阵秩的公式332

5 分块矩阵332

一、分块矩阵的概念332

二、分块矩阵的运算333

例题分析334

一、矩阵的概念及运算334

二、特殊方阵的幂338

三、伴随矩阵的相关问题341

四、可逆矩阵的相关问题344

五、初等变换、初等矩阵348

六、矩阵秩的计算349

七、矩阵方程的求解352

自测题355

第三章 向量357

考点与要求357

内容精讲357

1 向量组的线性相关性357

2 极大线性无关组、秩359

3 向量空间360

例题分析362

一、线性相关性的判别362

二、向量的线性表示364

三、向量组线性无关的证明366

四、秩和极大线性无关组369

五、向量空间374

自测题378

第四章 线性方程组380

考点与要求380

内容精讲380

1 克莱姆法则380

2 齐次线性方程组381

3 非齐次线性方程组382

例题分析383

一、线性方程组的基本概念题383

二、线性方程组的求解387

三、基础解系394

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A395

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系397

六、两个方程组的公共解398

七、同解方程组400

八、线性方程组的有关杂题402

自测题405

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵408

考点与要求408

内容精讲408

1 特征值、特征向量408

一、特征值，特征向量408

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵408

三、特征值的性质408

四、求特征值、特征向量的方法409

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化409

一、相似矩阵409

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件409

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件410

3 实对称矩阵的相似对角化410

一、实对称阵410

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化410

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤410

例题分析411

一、特征值，特征向量的求法411

二、两个矩阵有相同的特征值的证明415

三、关于特征向量416

四、矩阵是否相似于对角阵的判别417

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数419

六、由特征值、特征向量反求A420

七、矩阵相似及相似标准形423

八、相似对角阵的应用427

自测题431

第六章 二次型434

考点与要求434

内容精讲434

1 二次型的概念、矩阵表示434

一、二次型概念434

二、二次型的矩阵表示434

2 化二次型为标准形、规范形、合同二次型435

一、二次型的标准形，规范形435

二、化二次型为标准形，规范形435

三、合同矩阵，合同二次型436

3 正定二次型、正定矩阵437

例题分析437

一、二次型的矩阵表示437

二、化二次型为标准形439

三、合同矩阵、合同二次型444

四、正定性的判别447

五、正定二次型的证明450

六、综合杂题451

自测题453

第三篇 概率论与数理统计456

第一章 随机事件和概率456

考点与要求456

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算456

内容精讲456

例题分析458

2 概率、条件概率、独立性和五大公式460

内容精讲460

例题分析461

3 古典概型与伯努利概型466

内容精讲466

例题分析467

自测题469

第二章 随机变量及其概率分布471

考点与要求471

1 随机变量及其分布函数471

内容精讲471

例题分析472

2 离散型随机变量和连续型随机变量473

内容精讲473

例题分析474

3 常用分布475

内容精讲475

例题分析478

4 随机变量函数的分布481

内容精讲481

例题分析481

自测题483

第三章 多维随机变量及其分布486

考点与要求486

1 二维随机变量及其分布486

内容精讲486

例题分析488

2 随机变量的独立性493

内容精讲493

例题分析494

3 二维均匀分布和二维正态分布498

内容精讲498

例题分析499

4 两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布501

内容精讲501

例题分析502

自测题507

第四章 随机变量的数字特征510

考点与要求510

1 随机变量的数学期望和方差510

内容精讲510

例题分析512

2 矩、协方差和相关系数519

内容精讲519

例题分析520

自测题527

第五章 大数定律和中心极限定理530

考点与要求530

内容精讲530

例题分析531

自测题532

第六章 数理统计的基本概念534

考点与要求534

1 总体、样本、统计量和样本数字特征534

内容精讲534

例题分析535

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布537

内容精讲537

例题分析539

自测题543

第七章 参数估计545

考点与要求545

1 点估计545

内容精讲545

例题分析546

2 估计量的求法和区间估计550

内容精讲550

例题分析552

自测题556

第八章 假设检验558

考点与要求558

内容精讲558

例题分析559

自测题563