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第一章 向量代数与空间解析几何1

第一节 向量的概念及向量的表示1

一、向量的基本概念1

二、空间直角坐标系及向量的坐标表示式5

习题1-110

第二节 向量的数量积、向量积及混合积11

一、向量的数量积11

二、向量的向量积14

三、向量的混合积18

习题1-220

第三节　平面及其方程21

一、平面及其方程21

二、两平面间的夹角24

三、点到平面的距离26

习题1-327

第四节　空间直线及其方程27

一、空间直线的方程27

二、直线与直线及直线与平面的夹角30

三、平面束方程及点到直线的距离31

习题1-433

第五节　空间曲面、空间曲线及其方程34

一、曲面及其方程34

二、空间曲线及其方程38

习题1-541

第六节　二次曲面的标准方程42

习题1-646

第二章 多元函数微分学47

第一节　多元函数的概念47

一、二元函数的概念47

二、平面区域49

三、二元函数的几何意义52

四、多元函数的概念52

习题2-153

第二节 多元函数的极限与连续54

一、多元函数的极限54

二、多元函数的连续性56

三、有界闭区域上连续函数的性质57

四、二次极限59

习题2-261

第三节　偏导数62

一、偏导数的定义62

二、二元函数偏导数的几何意义65

三、偏导数与连续的关系66

习题2-367

第四节　全微分67

一、全微分的概念67

二、全微分的运算法则73

习题2-473

第五节　多元复合函数的求导法则74

一、链式法则74

二、全微分的形式不变性78

三、微分中值定理79

习题2-580

第六节　隐函数的导数81

一、一个方程的情形81

二、方程组的情形85

习题2-687

第七节　高阶偏导数，高阶微分及泰勒公式88

一、高阶偏导数88

二、高阶微分93

三、多元函数的泰勒公式95

习题2-797

第八节　方向导数与梯度98

一、方向导数98

二、方向导数的计算100

三、梯度103

习题2-8104

第三章 多元函数微分学的应用105

第一节　空间曲线的切线和法平面方程105

习题3-1109

第二节 曲面的切平面和法线方程109

一、曲面的切平面和法线方程109

二、二元函数全微分的几何意义113

习题3-2114

第三节　无约束极值与有约束极值114

一、无约束极值115

二、函数的最大值和最小值117

三、有约束极值120

习题3-3125

第四章 多元函数积分学127

第一节　二重积分127

一、一类数学模型127

二、二重积分的概念与性质129

三、二重积分的计算131

习题4-1144

第二节　三重积分145

一、三重积分的概念与性质145

二、三重积分的计算147

习题4-2157

第三节　广义二重积分158

一、无界区域上的二重积分158

二、含瑕点的二重积分161

习题4-3162

第四节 对弧长的曲线积分163

一、对弧长的曲线积分的概念163

二、对弧长的曲线积分的计算165

三、对弧长的曲线积分的几何意义168

习题4-4169

第五节　对坐标的曲线积分170

一、对坐标的曲线积分的概念170

二、对坐标的曲线积分的计算175

三、两类曲线积分的联系180

习题4-5182

第六节　格林公式182

一、格林公式182

二、平面上曲线积分与路径无关的条件187

三、原函数与全微分方程举例192

习题4-6195

第七节　对面积的曲面积分197

一、对面积的曲面积分的概念197

二、对面积的曲面积分的计算198

习题4-7204

第八节　对坐标的曲面积分204

一、双侧曲面及其投影204

二、对坐标的曲面积分的概念206

三、对坐标的曲面积分的计算209

四、两类曲面积分之间的联系212

习题4-8213

第九节　高斯公式与斯托克斯公式214

一、高斯公式214

二、斯托克斯公式217

习题4-9222

第五章 多元函数积分学的应用224

第一节　平面图形与曲面的面积224

一、平面图形的面积224

二、曲面的面积227

习题5-1229

第二节　立体的体积与曲线的弧长229

一、立体的体积229

二、弧长232

习题5-2233

第三节　多元函数积分学在物理中的应用233

一、物体的质量234

二、质心和形心236

三、转动惯量240

四、引力244

习题5-3247

第六章 向量函数与场论248

第一节 向量函数的极限与连续性248

一、向量函数的概念248

二、向量函数的极限与连续性249

习题6-1250

第二节 向量函数的解析性质251

一、向量函数的导数和偏导数251

二、向量函数的微分256

三、向量函数的积分258

习题6-2260

第三节　数量场及其物理量260

一、数量场260

二、数量场的方向导数和梯度261

习题6-3266

第四节　向量场及其物理量266

一、向量场266

二、通量与散度268

三、环量与旋度271

习题6-4273

第五节　几个常见的重要场274

一、有势场274

二、无源场275

三、调和场277

习题6-5277

第七章　含参变量的积分279

第一节　含参变量积分的概念与运算279

习题7-1285

第二节　含参变量的无穷积分285

一、含参变量的无穷积分的敛散性285

二、含参变量的无穷积分的性质288

习题7-2292

第三节 Г函数与B函数293

一、Г函数293

二、B函数296

习题7-3299

第四节　含参变量积分应用举例299

习题7-4304

第八章　积分变换305

第一节　傅里叶变换305

一、傅里叶级数的复形式305

二、傅里叶积分与傅里叶变换308

三、δ函数的傅里叶变换317

习题8-1319

第二节　拉普拉斯变换319

一、拉普拉斯变换的定义与存在条件319

二、拉普拉斯变换的性质322

三、拉普拉斯逆变换的求法325

四、拉普拉斯变换的简单应用327

习题8-2328

第九章　偏微分方程329

第一节　三类典型的偏微分方程329

一、典型方程的建立329

二、偏微分方程的一些基本概念333

三、定解条件与定解问题334

习题9-1337

第二节　分离变量法337

一、有界弦的自由振动338

二、圆域内稳态温度的第一边值问题341

三、施图姆-刘维尔固有值理论343

习题9-2345

第三节 分离变量法的进一步应用——非齐次情形346

一、非齐次方程的混合问题346

二、非齐次边界条件的处理348

习题9-3351

第四节　行波法352

一、两个自变量的二阶线性方程的分类与化简352

二、无界弦的自由横振动——达朗贝尔公式356

三、无界弦的强迫振动357

四、半无界弦的混合问题——对称延拓法360

习题9-4361

第五节　积分变换法361

一、傅里叶变换法举例362

二、拉普拉斯变换法举例363

习题9-5364

第六节　格林函数法365

一、格林公式及其应用365

二、格林函数367

习题9-6370

第七节　差分法370

一、差商与差分方程371

二、拉普拉斯方程的差分法372

三、波动方程的差分法375

四、热传导方程的差分法376

习题9-7377

习题答案378

附录393

附表1　傅里叶变换表393

附表2　拉普拉斯变换表397