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第一篇 数学史和古今数学思想概述1

第一章 数学是什么2

1.1 数学的研究对象2

1.2 数学的基本内容7

1.3 数学的重要作用9

第二章 初等数学的产生与发展17

2.1 数的产生与数学思想的萌芽17

2.2 算术、代数和三角的产生与发展19

2.3 演绎数学的形成与欧氏几何的诞生23

2.4 中国传统数学概况27

第三章 近代史上的重大数学事件39

3.1 解析几何的创立与发展39

3.2 微积分的产生与早期发展44

3.3 非欧几何的创立与发展50

3.4 伽罗瓦群论的产生54

3.5 分析学的严密化运动57

3.6 希尔伯特和20世纪的23个数学问题61

第四章 现代数学分支选讲66

4.1 集合论的产生与发展66

4.2 实、复变函数论的产生与发展71

4.3 抽象代数的产生与发展78

4.4 微分几何学的产生与发展81

4.5 拓扑学的产生与发展84

4.6 泛函分析的产生与发展88

4.7 微分方程的产生与发展92

4.8 概率论的产生与发展98

第五章 应用数学的发展与新数学分支的产生102

5.1 电子计算机引起数学的一场革命102

5.1.1 电子计算机的产生与发展102

5.1.2 计算数学的发展与计算复杂性理论的研究108

5.1.3 离散与连续并立，证明与计算统一112

5.1.4 信息科学与信息安全的研究115

5.1.5 科学家进硅谷和数学家进微软实验室116

5.2 应用数学的发展118

5.2.1 数理统计的发展与成熟118

5.2.2 运筹学的产生与发展120

5.2.3 控制论的产生与发展121

5.2.4 经济数学与诺贝尔经济奖122

5.3 数学新分支的形成与发展127

5.3.1 非标准分析与标准分析抗衡127

5.3.2 突变理论研究控制突发事件129

5.3.3 模糊数学精确处理模糊现象130

5.3.4 分形几何学描述自相似图形133

第六章 近代数学潮流与未来数学展望138

6.1 世界数学中心的转移138

6.2 国际数学家大会与数学奖141

6.3 21世纪的18个数学问题145

6.4 中国数学的未来148

第二篇 主要数学思想和基本数学方法152

第七章 主要数学思想概述154

7.1 数学思想方法及其作用154

7.2 序化思想与量化模式的构建158

7.3 一般数学思想161

7.3.1 符号思想161

7.3.2 分类思想165

7.3.3 转换思想168

7.3.4 公理化思想171

7.4 学科方法型思想176

7.4.1 集合思想176

7.4.2 方程思想179

7.4.3 逼近思想（极限思想）184

7.4.4 随机思想189

7.4.5 应用数学思想193

7.5 目标型思想——完美化原则200

7.5.1 数学之真与求真思想200

7.5.2 数学之善与求善思想201

7.5.3 数学之美与求美思想203

7.5.4 数学之用与求用思想208

第八章 数学发现的基本方法211

8.1 数学观察法与数学实验法211

8.1.1 数学观察法211

8.1.2 数学实验法214

8.2 归纳法218

8.3 类比法与联想法222

8.3.1 类比法222

8.3.2 联想法226

8.3.3 类比与联想的作用229

8.4 抽象法与概括法235

8.4.1 抽象法235

8.4.2 概括法242

8.4.3 抽象法与概括法比较245

8.4.4 抽象与概括的作用245

第九章 数学论证的基本方法250

9.1 演绎法251

9.1.1 三段论式251

9.1.2 数学归纳法与超限归纳法252

9.1.3 反例证明法256

9.1.4 分析演绎与综合演绎259

9.2 分析法与综合法262

9.2.1 分析法262

9.2.2 综合法263

9.2.3 综合法与分析法的协同作用264

9.3 化归法270

9.3.1 简单变形法271

9.3.2 变量替换与分部积分法275

9.3.3 运算类型的转换281

9.3.4 运算次序交换法284

9.3.5 数学分解法288

9.4 关系—映射—反演法（RMI原则）293

9.5 构造法305

9.6 一般化与特殊化309

9.6.1 一般化思想与方法309

9.6.2 特殊化思想与方法312

9.6.3 用一般化和特殊化指导解题314

9.6.4 典型化方法318

第十章 数学应用的基本方法321

10.1 数学建模法321

10.1.1 数学建模的步骤322

10.1.2 数学建模举例324

10.1.3 数学模型分类与简化328

10.1.4 用常微分方程建模的基本方法330

10.2 统计方法334

10.3 计算机应用与计算方法338

10.3.1 计算数学与计算方法338

10.3.2 算法与计算机算法340

10.3.3 计算机程序设计与算法语言344

10.3.4 计算机模拟方法348

第三篇 数学思想的教育与数学能力的培养353

第十一章 教育改革与数学思想方法的教学354

11.1 国内外数学教育改革概况354

11.1.1 国外数学教育改革概况354

11.1.2 国外数学教育改革的进一步启示359

11.1.3 国内数学教育改革概况361

11.2 在数学教育中贯彻数学思想方法教学364

11.2.1 数学思想方法在数学教育中的作用364

11.2.2 贯彻数学思想方法教学的途径368

附：曾容老师和过程教学法375

第十二章 数学创新能力的培养377

12.1 数学创造的能力因素377

12.1.1 数学创造的智力因素377

12.1.2 数学创造的非智力因素382

12.1.3 智力因素与非智力因素的发展与协同作用386

12.2 在数学教学中培养学生的创造性思维能力389

12.3 在数学教学中培养学生的创新能力393

第十三章 数学应用意识与应用能力的培养401

13.1 数学应用意识的培养402

13.2 在应用实践中培养学生的数学能力408

13.2.1 应用题及其开放式题型的教学408

13.2.2 数学实验课教学412

13.2.3 数学建模的教与学415

附录 古今数学家简介421

1 80名中外数学家一览表421

2 历届菲尔兹奖得主简表431

3 历届沃尔夫奖得主简表435

参考文献439