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第一章 线性空间和线性变换1

1 线性空间1

2 线性空间的同构4

3 线性变换5

4 不变子空间8

第二章 矩阵的标准形12

1 矩阵的 Jordon 标准形12

2 Hamilton-Cayley 定理和最小多项式16

3 有理分式矩阵19

第三章 内积空间及矩阵理论25

1 线性赋范空间25

2 内积空间29

3 标准正交基和正交变换32

4 两种特殊的正交变换37

4.1 初等旋转37

4.2 镜面反射38

5.1 矩阵的 LmRm 分解41

5 矩阵的几种分解及应用41

5.2 矩阵的 QmRm 分解43

5.3 旋转和反射的关系44

5.4 广义特征值问题45

5.5 复数域上矩阵的分解问题46

酉矩阵的定义和性质46

复矩阵的分解定理46

正规矩阵及其分解定理48

6 矩阵特征值的性质及估计49

6.1 特征值和 Rayleigh 商49

6.2 矩阵的谱分解定理52

6.3 特征值的估计53

特征值估计的几个基本定理53

圆盘定理54

谱半径的估计56

三对角矩阵特征值的估计60

7.1 内积空间中子空间的正交关系62

7 子空间的正交关系和几种特殊算子62

7.2 内积空间中的几种算子63

7.3 不变子空间66

8 矩阵的几种范数及其应用67

8.1 从属于向量范数的矩阵范数67

8.2 矩阵范数的应用70

线性方程组的摄动70

近似逆矩阵的误差72

第四章 矩阵分析及其应用77

1 矩阵序列的收敛性定理及矩阵级数77

2 矩阵幂级数及其应用81

3 函数矩阵分析86

3.1 函数矩阵86

3.2 函数矩阵对实变量的导数与积分88

3.3 函数向量的线性相关性89

3.4 函数矩阵对矩阵的导数92

3.5 矩阵在极值问题中的应用95

3.6 函数矩阵级数96

4 矩阵函数及其应用98

4.1 矩阵函数的解析定义及性质98

4.2 方阵函数的多项式表示101

4.3 常用方阵函数的一些性质106

4.4 方阵函数在微分方程组中的应用107

第五章 矩阵的广义逆及其应用111

1 线性最小二乘方问题111

1.1 引言111

1.2 线性最小二乘方问题解的存在性111

1.3 L.S-Am．b 问题的一种解法113

2 矩阵的奇异值分解115

2.1 奇异值分解的定义115

2.2 矩阵的奇异值的一些简单性质119

2.3 奇异值分解与最小二乘方问题121

3 广义逆矩阵的基本概念122

4.1 A-m 的概念及构造123

4 广义逆矩阵 A-m 及其应用123

4.2 A-m 的性质及应用125

4.3 分块矩阵的 A-m 的求法127

5 广义逆矩阵 A+m 及其应用130

5.1 A+m 的存在性和唯一性130

5.2 广义逆 A+m 的应用132

5.3 A+m 的几个性质135

6 其它几种类型的广义逆136

6.1 Am(1)的通式136

6.2 Am(1，2)的通式138

6.3 Am(1，3)的通式140

6.4 Am(1，4)的通式140

7 广义逆的应用141

7.1 相容方程组的最小范数解141

7.2 不相容方程组的最小二乘方解143

1 逆特征值问题研究现状147

第六章 矩阵的逆特征值问题147

2 矩阵逆特征值问题的可解性148

2.1 主要结果及定理148

2.2 定理的证明150

2.3 例题分析155

3 矩阵逆特征值问题的几乎处处不可解性156

4 矩阵逆特征值问题解的稳定性162

4.1 问题6.4.1解的稳定性163

4.2 问题6.4.2解的稳定性165

5 Jacobi 矩阵的逆特征值问题169

5.1 引言169

5.2 问题6.5.5的解170

5.3 问题6.5.6的解173

5.4 问题6.5.7的解176

6 实对称带状矩阵的逆特征值问题178

6.1 引言178

6.2 问题6.6.2有解的条件及解的表达式179

6.3 问题6.6.3的解及其表达式180

6.4 数值方法和例题分析181

6.5 问题6.6.4的解及解的求法182

7 实对称矩阵的逆特征值问题184

7.1 引言184

7.2 问题6.7.1的解法185

7.3 问题6.7.2的解法189

7.4 问题6.7.3解存在的条件及解的表达式192

7.5 问题6.7.4解的表示及其求法195

8 谱约束下的矩阵最佳逼近问题197

8.1 引言197

8.2 问题6.8.1的解及求解方法197

8.3 问题6.8.2的解201

8.4 问题6.8.2的求法及算例205

9 非线性约束下的矩阵逼近问题208

9.1 问题的提法208

9.2 问题6.9.2解存在的条件208

9.3 问题6.9.2解的表示211

9.4 问题6.9.2解的解法及几点说明212

第七章 矩阵理论的几个应用问题215

1 弹性结构振动理论中的特征值反问题215

1.1 引言215

1.2 弹簧——质点系统215

1.3 杆的具有集中质量矩阵的有限单元模型216

2 能量守恒系统的若干逆问题216

2.1 引言216

2.2 主要结果及证明216

3 控制系统中的逆问题221

4 矩阵理论在线性振动中的应用223

4.1 n 维无阻尼线性自由振动223

4.2 有阻尼的线性振动224

5 矩阵理论在线性系统的稳定性中的应用225

附录A 投影定理及其证明229

附录B 一些概念的定义及有关结果232

参考文献239

附录C 符号说明241