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第一章 常微分方程初值问题的数值解法1

1 引论1

1.1一阶常微分方程初值问题1

1.2 Euler法2

1.3线性差分方程6

1.4 Gronwall不等式11

2 线性多步法13

2.1数值积分法13

2.2待定系数法21

2.3多步法的计算问题24

3 稳定性、收敛性和误差估计25

3.1局部截断误差、相容性25

3.2稳定性27

3.3收敛性和误差估计32

3.4绝对和相对稳定性34

4 预估-校正算法41

4.1预估-校正算法41

4.2局部截断误差和局部截断误差主项43

4.3选步长和改善精度46

4.4预-校算法举例47

5 单步法Runge-Kutta法50

5.1 Taylor展开法50

5.2单步法的稳定性和收敛性51

5.3 Runge-Kutta（龙格-库塔）法54

5.4 Runge-Kutta法的绝对稳定域60

6外推法63

6.1多项式外推63

6.2对初值问题的应用65

6.3用外推法估计误差66

7 一阶方程组和高阶方程的初值问题68

7.1对一阶方程组的推广68

7.2不显含一阶导数的二阶方程71

主要参考文献74

第二章 边值问题的变分形式75

1 二次函数的极值75

2 两点边值问题78

2.1弦的平衡78

2.2 Sobolev空间Hm（I）80

2.3极小位能原理85

2.4虚功原理91

3 二阶椭圆型边值问题94

3.1 Sobolev空间Hm（G）94

3.2极小位能原理95

3.3自然边值条件100

3.4虚功原理102

4 Ritz-Galerkin方法104

主要参考文献112

第三章 椭圆和抛物型方程的有限元法113

1 解一维问题的线性元114

1.1从Ritz法出发114

1.2从Galerkin法出发120

2 线性元的误差估计125

3 一维高次元130

3.1一次元（线性元）131

3.2二次元132

3.3三次元134

4 解二维问题的矩形元139

4.1 Lagrange型公式139

4.2 Hermite型公式143

5 三角形元145

5.1面积坐标及有关公式146

5.2 Lagrange型公式150

5.3 Hermite型公式151

6 曲边元和等参变换155

7 有限元方程161

7.1有限元方程的形成161

7.2矩阵元素的计算162

7.3边值条件的处理164

7.4举例167

8 收敛阶的估计173

9 抛物型方程的有限元法179

主要参考文献182

第四章 椭圆型方程的有限差分法183

1 差分逼近的基本概念184

2 一维差分格式189

2.1直接差分化190

2.2积分插值法193

2.3变分差分法196

2.4边值条件的处理198

3 矩形网的差分格式200

3.1五点差分格式200

3.2边值条件的处理205

3.3极坐标形式的差分格式207

4 三角网的差分格式211

5 极值定理216

5.1差分方程216

5.2极值定理219

5.3五点格式的敛速估计221

6 能量不等式224

6.1差分公式225

6.2若干不等式227

6.3先验估计229

6.4解的存在唯一性及收敛速度的估计232

主要参考文献234

第五章 抛物型方程的有限差分法235

1 最简差分格式235

2 稳定性与收敛性243

2.1稳定性概念243

2.2判别稳定性的直接法246

2.3收敛性和敛速估计249

3 Fourier方法251

3.1差分方程的Fourier方法252

3.2判别差分格式稳定的代数准则259

4 变系数抛物方程266

5 分数步长法272

5.1 ADI法272

5.2预-校法276

5.3 LOD法278

主要参考文献279

第六章 双曲型方程的有限差分法280

1 波动方程的差分逼近280

1.1波动方程及其特征280

1.2显格式282

1.3稳定性分析284

1.4隐格式288

2 一阶线性双曲型方程组290

2.1双曲型方程组、特征概念290

2.2 Cauchy问题、依存域、影响域、决定域295

2.3其它定解问题297

3 差分逼近300

3.1迎风格式300

3.2积分守恒差分格式305

3.3粘性差分格式307

3.4几点注记310

主要参考文献313

第七章 离散化方程的解法314

1 基本迭代法314

1.1离散方程的基本特征314

1.2一般迭代法318

1.3超松弛法（SOR法）321

2 交替方向迭代法324

2.1二维交替方向迭代325

2.2三维交替方向迭代330

3 预处理共轭斜量法333

3.1共轭斜量法333

3.2预处理共轭斜量法335

4 多重网格法339

4.1二重网格法340

4.2多重网格法和套迭代技术344

4.3推广到多维问题347

主要参考文献348