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绪论1

第一章 近世代数与拓扑4

1.1 代数基本概念4

1.1.1 逻辑与集合4

1.1.2 映射、积与关系6

1.1.3 超穷数、势8

1.1.4 代数运算，同态与同构10

1.2 群11

1.2.1 半群、群、子群与同态11

1.2.2 变换群、置换群与循环群13

1.2.3 陪集、不变子群与商群15

1.2.4 对称群、交错群与正多边形群17

1.2.5 群论的一些应用实例18

1.3 环、域与代数28

1.3.1 环、子环、除环与域28

1.3.2 理想、同态与剩余类环29

1.3.3 变换环、代数与张量积31

1.4 模与范畴33

1.4.1 模、同态与正合序列33

1.4.2 自由模与线性空间34

1.4.3 范畴与态射35

1.4.4 函子36

1.5 拓扑空间基本概念37

1.5.1 Euler定理37

1.5.2 曲面39

1.5.3 拓扑空间与拓扑基40

1.5.4 连续映射与同胚43

1.5.5 子空间、积空间45

1.6 拓扑空间基本性质46

1.6.1 拓扑空间的连通性46

1.6.2 拓扑空间的分离性公理48

1.6.3 拓扑空间的紧致性49

习题51

参考文献52

第二章 泛函分析53

2.1 距离空间53

2.1.1 距离空间53

2.1.2 距离空间中的点集55

2.1.3 连续映射57

2.1.4 完备的距离空间58

2.1.5 紧集与列紧集59

2.1.6 压缩映射原理61

2.2.1 赋范线性空间62

2.2 赋范线性空间及Banach空间62

2.2.2 有界线性算子和连续线性泛函64

2.2.3 线性算子空间和共轭空间67

2.2.4 泛函分析中的基本定理68

2.2.5 共轭算子72

2.2.6 全连续算子73

2.2.7 有界线性算子的谱理论74

2.3 Hilbert空间76

2.3.1 内积空间76

2.3.2 投影定理与Riesz表现定理78

2.3.3 标准正交集与Fourier展式79

2.3.4 Hilbert空间中的共轭算子和自共轭算子83

2.4 非线性算子85

2.4.1 非线性算子的有界性和连续性86

2.4.2 F－微分和G－微分88

2.4.3 积分92

2.4.4 多重线性算子，高阶微分94

2.4.5 隐函数定理与反函数定理96

2.5 拓扑度理论98

2.5.1 Brouwer度98

2.5.2 Leray-Schauder度104

2.5.3 不动点定理及其应用107

习题110

参考文献113

第三章 微分流形及其应用114

3.1 微分流形与可微映射114

3.1.1 微分流形114

3.1.2 可微映射118

3.1.3 切向量和切空间121

3.1.4 映射的微分、余切向量和余切空间125

3.1.5 Riemann流形129

3.2.1 Grassmann代数131

3.2 微分形式131

3.2.2 微分形式133

3.2.3 外微分135

3.2.4 Poincaré引理和逆命题138

3.2.5 对偶微分139

3.2.6 微分形式与向量场的内积141

3.2.7 Lie导数和Lie代数142

3.2.8 伴随微分形式、Hodge星算子150

3.2.9 余微分、调和算子153

3.2.10 微分形式的一些应用155

3.3.1 体形式与可定向流形164

3.3 流形上的积分164

3.3.2 流形上的积分167

3.3.3 Stokes定理168

3.4 临界点理论概述171

3.4.1 临界点、Sard定理171

3.4.2 Morse理论173

3.4.3 横截性理论176

习题177

参考文献179

4.1.1 偏微分方程定义181

第四章 偏微分方程的现代理论181

4.1 偏微分方程的基本概念181

4.1.2 偏微分方程的定解问题183

4.2 广义函数空间184

4.2.1 基本函数空间184

4.2.2 广义函数空间185

4.2.3 广义函数的结构191

4.2.4 线性偏微分方程的基本解192

4.3 Sobolev空间理论195

4.3.1 整指数Sobolev空间195

4.3.2 实指数Sobolev空间196

4.3.3 嵌入定理199

4.4 线性偏微分方程的基本方法201

4.4.1 二阶线性椭圆型方程Dirichlet问题的经典解201

4.4.2 椭圆型方程的广义解及其正则性208

4.4.3 线性发展方程的Cauchy问题212

4.5 线性算子半群理论及其应用217

4.5.1 C0半群理论217

4.5.2 在发展方程的初始问题中的应用222

4.6 非线性偏微分方程的一些典型解法224

4.6.1 KdV方程与孤立子224

4.6.2 B？cklund变换225

4.6.3 Hirota双线性直接法227

4.6.4 Lax对和反散射方法229

习题231

参考文献232

第五章 小波分析及其应用233

5.1 从频率分析到尺度分析233

5.1.1 时频局部化问题233

5.1.2 窗口Fourier变换234

5.1.3 连续小波变换236

5.2 框架238

5.2.1 框架及其对偶238

5.1.4 奇异信号在小波变换下的特征238

5.2.2 窗口Fourier框架240

5.2.3 小波框架241

5.3 正交小波241

5.3.1 多尺度分析241

5.3.2 正交小波的构造247

5.3.3 快速小波算法251

5.3.4 小波与函数空间255

5.3.5 向量小波基257

5.4 双正交小波基259

5.5 正交基库与最优算法261

5.5.1 正交小波包262

5.5.2 局部正（余）弦基265

5.5.3 信息花费函数与最优基选择271

5.5.4 快速近似主因子分析273

5.6 小波分析应用简介275

5.6.1 在信号除噪方面的应用275

5.6.2 在图像压缩方面的应用277

5.6.3 小波与快速数值计算278

习题282

参考文献282

6.1 引言284

第六章 随机微分方程284

6.2 基本知识285

6.2. 1随机过程285

6.2. 2随机过程的数字特征和特征函数287

6.2. 3Markov过程289

6.2. 4扩散过程292

6.2. 5Brown运动293

6.3 随机微积分295

6.3. 1L2空间296

6.3. 2随机变量序列的收敛296

6.3. 3均方连续301

6.3. 4均方导数302

6.3. 5均方积分305

6.4 Ito随机积分308

6.5 Ito微分公式313

6.6 Ito随机微分方程314

6.6. 1解过程的存在性和惟一性315

6.6. 2解过程的转移概率密度318

6.6. 3解过程的矩321

6.7 随机微分方程的一些应用322

习题328

参考文献329

附录 中英文名词索引330