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第一章 集论初步1

1.集的概念.集上的运算1

1.基本定义1

2.集上的运算1

2.映射.分类3

1.集的映射.函数的一般概念3

2.分类.等价关系5

3.集的对等性.集的势的概念7

1.有限集与无限集7

2.可数集8

3.集的对等性9

4.实数集的不可数性11

5.康托尔-伯恩斯坦（Cantor-Bernstein）定理12

6.集的势的概念12

4.有序集.超限数14

1.偏序集14

2.保序映射15

3.序型.有序集15

4.有序集的有序和16

5.良序集.超限数16

6.序数的比较17

7.选择公理.策梅洛定理及与其等价的其他命题19

8.超限归纳法20

5.集族21

1.集环21

2.集半环22

3.半环生成的环23

4.σ代数24

5.集族与映射25

第二章 度量空间与拓扑空间26

1.度量空间的概念26

1.定义与基本例子26

2.度量空间的连续映射.等距32

2.收敛性.开集与闭集33

1.极限点.闭包33

2.收敛性34

3.稠密子集35

4.开集与闭集35

5.直线上的开集与闭集36

3.完备度量空间40

1.完备度量空间的定义与例子40

2.球套定理42

3.贝尔（Baire）定理43

4.空间的完备化43

4.压缩映射原理及其应用45

1.压缩映射原理45

2.压缩映射原理最简单的一些应用46

3.微分方程的存在性与唯一性定理49

4.压缩映射原理应用于积分方程51

5.拓扑空间53

1.拓扑空间的定义与例子53

2.拓扑的比较55

3.确定邻域族.基.可数性公理55

4.T中的收敛序列58

5.连续映射.同胚58

6.分离性公理60

7.在空间中给定拓扑的不同方法.可度量性62

6.紧性63

1.紧性概念63

2.紧空间的连续映射65

3.在紧空间上的连续函数与半连续函数65

4.可数紧性67

5.准紧集68

7.度量空间的紧性68

1.完全有界性68

2.紧性与完全有界性70

3.度量空间中的准紧子集71

4.阿尔采拉（Arzelà）定理71

5.佩亚诺（Peano）定理73

6.一致连续性.度量紧统的连续映射75

7.拓广的阿尔采拉定理75

8.度量空间中的连续曲线76

第三章 赋范线性空间与线性拓扑空间81

1.线性空间81

1.线性空间的定义及例子81

2.线性相关性83

3.子空间84

4.商空间84

5.线性泛函85

6.线性泛函的几何意义87

2.凸集与凸泛函.哈恩-巴拿赫（Hahn-Banach）定理88

1.凸集与凸体88

2.齐次凸泛函90

3.闵可夫斯基泛函91

4.哈恩-巴拿赫定理93

5.线性空间中凸集的可分离性96

3.赋范空间97

1.赋范空间的定义与例子97

2.赋范空间的子空间99

3.赋范空间的商空间99

4.欧几里得空间101

1.欧几里得空间的定义101

2.例子102

3.正交基的存在性，正交化104

4.贝塞耳（Bessel）不等式.封闭正交系106

5.完备的欧几里得空间.里斯-费希尔（Riesz-Fisher）定理109

6.希尔伯特空间.同构定理111

7.子空间.正交补.直和114

8.欧几里得空间的特性117

9.复欧几里得空间119

5.线性拓扑空间122

1.定义与例子122

2.局部凸性124

3.可数赋范空间124

第四章 线性泛函与线性算子127

1.线性连续泛函127

1.线性拓扑空间中的线性连续泛函127

2.赋范空间上的线性泛函128

3.赋范空间中的哈恩-巴拿赫定理131

4.在可数赋范空间中的线性泛函133

2.共轭空间134

1.共轭空间的定义134

2.共轭空间中的强拓扑134

3.共轭空间的例子136

4.二次共轭空间141

3.弱拓扑与弱收敛143

1.在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛143

2.赋范空间中的弱收敛144

3.共轭空间中的弱拓扑与弱收敛147

4.共轭空间中的有界集148

4.广义函数151

1.函数概念的推广151

2.基本函数空间152

3.广义函数153

4.广义函数的运算154

5.基本函数范围的充足性156

6.按导数求函数.广义函数类中的微分方程157

7.某些推广159

5.线性算子162

1.线性算子的定义与例162

2.连续性与有界性165

3.算子的和与积167

4.逆算子，可逆性168

5.共轭算子173

6.欧几里得空间中的共轭算子.自共轭算子175

7.算子的谱.预解式176

6.紧算子178

1.紧算子的定义与例178

2.紧算子的基本性质182

3.紧算子的特征值184

4.希尔伯特空间中的紧算子185

5.H中的自共轭紧算子186

第五章 测度，可测函数，积分190

1.平面集的测度190

1.初等集的测度190

2.平面集的勒贝格（Lebesgue）测度194

3.若干补充与推广200

2.一般测度概念.测度从半环到环上的扩张.加性和σ加性202

1.测度的定义202

2.从半环到其所生成的环的测度扩张203

3.σ加性205

3.测度的勒贝格扩张208

1.给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张208

2.给定在不含单位集的半环上的测度扩张210

3.在σ有限测度的情形下可测性概念的扩充212

4.按约当（Jordan）意义的测度扩张214

5.测度扩张的单值性216

4.可测函数217

1.可测函数的定义及其基本性质217

2.可测函数的运算218

3.等价性220

4.几乎处处收敛性221

5.叶果洛夫（Егоров）定理221

6.按测度收敛222

7.鲁金（Лузии）定理.C性质225

5.勒贝格积分225

1.简单函数226

2.简单函数的勒贝格积分226

3.具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义228

4.σ加性和勒贝格积分的绝对连续性230

5.勒贝格积分号下取极限234

6.无穷测度集上的勒贝格积分237

7.勒贝格积分同黎曼积分之比较238

6.集族及其测度的直积.富比尼（Fubini）定理241

1.集族的乘积241

2.测度积242

3.用截线的线性测度之积分表示平面测度之表达式.勒贝格积分的几何意义244

4.富比尼定理247

第六章 勒贝格不定积分.微分论250

1.单调函数.积分对上限的可微性251

1.单调函数的基本性质251

2.单调函数的可微性253

3.积分对上限求导数259

2.有界变差函数260

3.勒贝格不定积分的导数264

4.用函数的导数求原函数.绝对连续函数266

5.作为集函数的勒贝格积分.拉东-尼柯迪姆（Radon-Nikod？m）定理274

1.荷·哈恩分解和约当分解274

2.荷的基本类型276

3.绝对连续荷.拉东-尼柯迪姆定理277

6.斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分279

1.斯蒂尔切斯测度279

2.勒贝格-斯蒂尔切斯积分281

3.勒贝格-斯蒂尔切斯积分在概率论中的某些应用282

4.黎曼-斯蒂尔切斯（Riemann-Stieltjes）积分284

5.斯蒂尔切斯积分号下取极限287

6.连续函数空间中线性连续泛函的一般形式289

第七章 可和函数空间294

1.空间L1294

1.空间L1的定义与基本性质294

2.L1中处处稠密的集合296

2.空间L2299

1.定义与基本性质299

2.无穷测度的情形301

3.在L2中处处稠密的集合.同构定理303

4.复空间L2304

5.均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系304

3.L2中的正交函数系.按正交系展开的级数306

1.三角函数系.傅里叶三角级数306

2.在闭区间［0，π］上的三角函数系308

3.复形式的傅里叶级数309

4.勒让德（Legendre）多项式310

5.乘积正交系.多重傅里叶级数312

6.关于给定权正交的多项式314

7.空间L2（-∞，∞）与L2（0，∞）中的正交基315

8.关于离散权的正交多项式316

9.哈尔（Haar）系与拉德马赫-沃尔什（Rademacher-Walsh）系318

第八章 三角级数.傅里叶变换321

1.傅里叶级数收敛的条件321

1.傅里叶级数在一点收敛的充分条件321

2.傅里叶级数一致收敛的条件326

2.费耶（Fejér）定理328

1.费耶定理328

2.三角函数系的完备性.魏斯特拉斯定理331

3.空间L1中的费耶定理332

3.傅里叶积分332

1.基本定理332

2.复形式的傅里叶积分334

4.傅里叶变换，它的性质与应用335

1.傅里叶变换与反演公式335

2.傅里叶变换的基本性质338

3.埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性340

4.快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换341

5.傅里叶变换与函数的卷积342

6.用傅里叶变换解热传导方程343

7.多元函数的傅里叶变换344

5.空间L2（-∞，∞）中的傅里叶变换347

1.布兰舍列尔（Planchler）定理347

2.埃尔米特函数349

6.拉普拉斯（Laplace）变换352

1.拉普拉斯变换的定义与基本性质352

2.拉普拉斯变换对解微分方程的应用（算子法）353

7.傅里叶-斯蒂尔切斯变换354

1.傅里叶-斯蒂尔切斯变换的定义354

2.傅里叶-斯蒂尔切斯变换在概率论中的应用356

8.广义函数的傅里叶变换358

第九章 线性积分方程361

1.基本定义.导致积分方程的某些问题361

1.积分方程的类型361

2.导致积分方程的问题的一些例子362

2.弗雷德霍姆积分方程364

1.弗雷德霍姆积分算子364

2.含对称核的方程367

3.弗雷德霍姆定理.退化核情形368

4.含任意核的方程的弗雷德霍姆定理370

5.沃尔泰拉方程374

6.第一类积分方程374

3.含参数的积分方程.弗雷德霍姆法375

1.H里紧算子的谱375

2.以λ的幂级数形式求解.弗雷德霍姆行列式376

第十章 线性空间微分学概要381

1.线性空间中的微分法381

1.强微分（弗雷歇（Fréchet）微分）381

2.弱微分（伽托（G？teaux）微分）383

3.有限增量公式383

4.弱可微性与强可微性之间的关系384

5.可微分泛函385

6.抽象函数385

7.积分386

8.高阶导数387

9.高阶微分390

10.泰勒（Taylor）公式390

2.隐函数定理及其某些应用391

1.隐函数定理391

2.微分方程解对初始数据的依赖性定理394

3.切流形.刘斯切尔尼克（Люстерник）定理395

3.极值问题397

1.极值的必要条件397

2.二阶微分.泛函极值的充分条件401

3.有约束的极值问题403

4.牛顿（Newton）法404

附录 巴拿赫代数（B.M.季霍米洛夫）409

1.巴拿赫代数的定义与一些例子409

1.巴拿赫代数，巴拿赫代数的同构409

2.巴拿赫代数的一些例子410

3.极大理想412

2.谱和预解式412

1.定义与例子413

2.谱的性质413

3.谱半径定理415

3.几个辅助结果416

1.商代数定理416

2.三个引理417

4.基本定理417

1.线性连续可乘泛函与极大理想417

2.集？中的拓扑.基本定理419

3.维纳（Wiener）定理；习题421

文献425

各章的有关文献429

索引430

译者后记451