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目录1

第6章 向量代数与空间解析几何1

6.1　空间直角坐标系1

6.1.1 空间直角坐标系1

6.1.2　空间点的坐标2

6.1.3 空间两点间的距离3

6.1.4 Euclid空间4

习题6.16

6.2　向量及其线性运算 向量在轴上的投影6

6.2.1　向量概念6

6.2.2　向量的线性运算7

6.2.3　向量的坐标表示式10

6.2.4　方向余弦13

6.2.5　向量在轴上的投影15

6.3.1　向量的数量积16

6.3　向量乘积16

习题6.216

6.3.2　向量的向量积19

习题6.323

6.4　平面及其方程24

6.4.1　平面方程25

6.4.2　两平面间的夹角29

6.4.3　点到平面的距离29

习题6.430

6.5　空间直线及其方程31

6.5.1　直线方程31

6.5.2 两直线的关系34

6.5.3 直线与平面的夹角36

6.5.4　平面束37

习题6.538

6.6.1 曲面方程的概念39

6.6　曲面及其方程39

6.6.2　旋转曲面40

6.6.3　柱面42

习题6.643

6.7　空间曲线及其方程44

6.7.1 空间曲线的一般方程44

6.7.2　空间曲线的参数方程46

6.7.3 空间曲线在坐标平面上的投影47

习题6.749

6.8　二次曲面50

6.8.1　椭球面50

6.8.2　椭圆抛物面51

6.8.3　锥面52

6.8.4　单叶双曲面52

6.8.6　双曲抛物面54

6.8.5　双叶双曲面54

习题6.855

6.9 曲面的参数方程55

总习题657

第7章 多元函数微分法及其应用59

7.1　多元函数的极限及连续性59

7.1.1 多元函数的概念59

7.1.2　多元函数的极限62

7.1.3 多元函数的连续性64

习题7.166

7.2　偏导数66

7.2.1　偏导数的定义及偏导数的求法66

7.2.2　偏导数的几何意义69

7.2.3　高阶偏导数70

习题7.272

7.3.1 中值定理73

7.3　全微分73

7.3.3　可微分条件74

7.3.2　全微分的定义74

习题7.378

7.4　多元复合函数求导法则79

7.4.1 复合函数的中间变量均为多元函数的情形79

7.4.2 复合函数的中间变量均为一元函数的情形81

7.4.3　某些中间变量又是复合函数中的自变量的情形82

7.4.4　全微分的形式不变性83

7.4.5　复合函数的高阶偏导数84

习题7.486

7.5　隐函数求导法87

7.5.1　一个方程的情形88

7.5.2　方程组的情形91

习题7.594

7.6.1 空间曲线的切线与法平面95

7.6　多元函数微分法在几何上的应用95

7.6.2 空间曲面的切平面与法线98

习题7.6102

7.7　梯度与方向导数103

7.7.1　梯度与场103

7.7.2　方向导数104

7.7.3　等值线与梯度的关系108

习题7.7109

7.8　多元函数的极值110

7.8.1　极值、最大值、最小值110

7.8.2　条件极值114

习题7.8121

7.9 二元函数的Taylor公式122

7.9.1　二元函数的Taylor公式122

7.9.2　二元函数极值充分条件的证明125

习题7.9127

7.10 最小二乘法128

习题7.10132

总习题7133

第8章　重积分135

8.1　二重积分及其计算135

8.1.1　二重积分的概念135

8.1.2　二重积分的基本性质138

8.1.3　二重积分在直角坐标系下的计算139

习题8.1144

8.2　三重积分及其计算146

8.2.1　三重积分的定义146

8.2.2　三重积分在直角坐标系下的计算147

习题8.2152

8.3.1　二重积分的换元法153

8.3　重积分的换元法153

8.3.2　三重积分的换元法157

习题8.3163

8.4　重积分应用165

8.4.1　重积分在几何上的应用165

8.4.2　重积分在物理上的应用169

习题8.4173

总习题8174

第9章 曲线积分与曲面积分177

9.1　第一型曲线积分177

9.1.1 第一型曲线积分的定义177

9.1.2　第一型曲线积分的性质178

9.1.3 第一型曲线积分的计算179

9.1.4　第一型曲线积分的应用181

习题9.1183

9.2.1 第一型曲面积分的定义184

9.2　第一型曲面积分184

9.2.2 第一型曲面积分的性质185

9.2.3 第一型曲面积分的计算186

9.2.4 第一型曲面积分的应用188

习题9.2189

9.3　第二型曲线积分190

9.3.1 第二型曲线积分的定义与性质190

9.3.2 第二型曲线积分的计算192

9.3.3 两类曲线积分之间的联系193

习题9.3194

9.4　第二型曲面积分195

9.4.1 第二型曲面积分的概念与性质195

9.4.2 第二型曲面积分的计算197

9.4.3 两类曲面积分之间的联系199

习题9.4200

9.5.1　Green公式201

9.5　Green公式201

9.5.2　平面上曲线积分与路径无关的条件204

习题9.5209

9.6　全微分方程209

9.6.1　全微分求积210

9.6.2　全微分方程211

习题9.6212

9.7　Gauss公式213

9.7.1　Gauss公式213

9.7.2 曲面积分与所选曲面无关的条件216

习题9.7217

9.8　Stokes公式218

9.8.1　Stokes公式218

9.8.2　散度与旋度220

习题9.8223

总习题9224

第10章　级数227

10.1　常数项级数的概念和性质227

10.1.1　收敛与发散的概念227

10.1.2　收敛级数的基本性质230

习题10.1233

10.2　正项级数审敛法234

10.2.1 同号级数234

10.2.2　正项级数审敛法234

习题10.2242

10.3　交错级数　绝对收敛与条件收敛243

10.3.1　交错级数及其审敛法243

10.3.2　绝时收敛与条件收敛245

习题10.3248

10.4.1 函数项级数的概念249

10.4　幂级数249

10.4.2　幂级数及其收敛性250

10.4.3　幂级数的运算254

习题10.4257

10.5　函数展成幂级数258

10.5.1　Taylor级数258

10.5.2　函数展成幂级数261

10.5.3　Euler公式265

习题10.5266

10.6 微分方程的幂级数解法267

10.6.1　一阶微分方程求解举例267

10.6.2　二阶微分方程求解举例268

习题10.6269

10.7 Fourier级数269

10.7.1　三角函数系的正交性，三角级数270

10.7.2　函数展开成Fourier级数271

10.7.3　正弦级数与余弦级数274

10.7.4　周期延拓、奇延拓与偶延拓276

习题10.7279

10.8 Fourier级数的复指数形式与Fourier积分变换的概念280

10.8.1 Fourier级数的复指数形式280

10.8.2 非周期函数的Fou rier积分和Fourier变换281

10.8.3　广义Fourier级数展开284

10.8.4 关于偏微分方程的一个例子——波动方程284

习题10.8287

总习题10287

第11章　数学实验289

11.1　Mathematica简介289

11.1.1　Mathematica的进入与退出289

11.1.2　Mathematica中的数与运算符、变量、函数291

11.1.3　Mathematica中的表296

11.1.4　解方程与方程组297

11.1.5　程序设计300

11.1.6　Mathematica操作的注意事项302

11.1.7　Mathematica的错误提示302

习题11.1303

11.2　函数与极限实验303

11.2.1 实验目的303

11.2.2　实验内容303

11.2.3　实验步骤303

习题11.2312

11.3　一元函数微分学实验313

11.3.1 实验目的313

11.3.2　实验内容313

11.3.3　实验步骤313

习题11.3318

11.4.3　实验步骤319

11.4.2　实验内容319

11.4.1 实验目的319

11.4　一元函数积分学实验319

习题11.4322

11.5　微分方程实验323

11.5.1 实验目的323

11.5.2 实验内容323

11.5.3　实验步骤323

习题11.5329

11.6　空间曲线和曲面的绘制实验329

11.6.1　实验目的329

11.6.2　实验内容330

11.6.3　实验步骤330

习题11.6338

11.7.3　实验步骤340

11.7.2 实验内容340

11.7.1　实验目的340

11.7　多元函数微分学实验340

习题11.7353

11.8　多元函数积分学实验354

11.8.1　实验目的354

11.8.2　实验内容354

11.8.3　实验步骤354

习题11.8358

11.9　无穷级数实验359

11.9.1 实验目的359

11.9.2 实验内容359

11.9.3　实验步骤359

习题11.9365

附录　习题答案366

参考文献385