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第5章 常微分方程1

Ⅰ 基本内容1

5.1微分方程的基本知识1

5.2一阶微分方程1

5.3典型的一阶微分方程的解法1

5.4可转化为典型的一阶微分方程5

5.5可降阶的微分方程的解法6

5.6二阶线性微分方程的解8

5.7高阶线性微分方程的解11

5.8高阶常系数线性微分方程的解13

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序14

｛范例5-1｝简单的一阶微分方程的通解和特解14

｛范例5-2｝分离变量法的应用和约化曲线的画法17

｛范例5-3｝同次方程的通解20

｛范例5-4｝正比分式一阶微分方程的通解22

｛范例5-5｝线性分式一阶微分方程的通解25

｛范例5-6｝一阶线性微分方程的通解29

｛范例5-7｝伯努利方程的通解32

｛范例5-8｝ y（n）=f（x）型方程的通解34

｛范例5-9｝ y＂= f（ y＇）型方程的通解37

｛范例5-10｝y＂=f（x， y＇）型方程的通解38

｛范例5-11｝y＂=f（y，y＇）型方程的通解39

｛范例5-12｝y＂=f（y）型方程的通解41

｛范例5-13｝可降阶的微分方程的通解43

｛范例5-14｝可降阶的微分方程的特解47

｛范例5-15｝积分方程的解50

｛范例5-16｝常系数齐次微分方程的解54

｛范例5-17｝常系数非齐次微分方程的解57

｛范例5-18｝欧拉方程的解59

｛范例5-19｝二元微分方程组的解62

｛范例5-20｝三元微分方程组的解67

Ⅲ练习题71

第6章向量代数与空间解析几何74

Ⅰ基本内容74

6.1向量的概念和线性运算74

6.2空间直角坐标系和向量的线性运算76

6.3任意向量的乘积78

6.4空间平面及其方程81

6.5空间直线和方程83

6.6距离和交点85

6.7平面与直线的关系89

6.8曲面方程91

6.9空间曲线和方程93

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序94

｛范例6-1｝空间坐标系和立方体的坐标94

｛范例6-2｝向量的坐标表示方法95

｛范例6-3｝向量的加减法98

｛范例6-4｝向量的投影、点积和叉积99

｛范例6-5｝用向量证明几何定理（图形动画）102

｛范例6-6｝平行六面体的体积和四面体的体积104

｛范例6-7｝各种平面方程106

｛范例6-8｝点到平面的距离和平行平面之间的距离111

｛范例6-9｝直线方程和点到直线的距离112

｛范例6-10｝平面间的夹角117

｛范例6-11｝直线间的距离和夹角118

｛范例6-12｝直线与平面的交点和夹角以及投影方程122

｛范例6-13｝二次柱面124

｛范例6-14｝球面和椭球面（图形动画）126

｛范例6-15｝椭圆抛物面和双曲抛物面以及直纹双曲面130

｛范例6-16｝双叶双曲面和单叶双曲面（图形动画）133

｛范例6-17｝椭圆锥面和空间圆锥曲线136

｛范例6-18｝圆柱螺旋线和圆锥螺旋线以及投影（曲线动画）139

｛范例6-19｝平面和球面与柱面的交线和投影142

｛范例6-20｝旋转双曲面（图形动画）144

Ⅲ练习题146

第7章 多元函数的微分151

Ⅰ基本内容151

7.1多元函数和函数的定义域151

7.2多元函数的极限和连续性152

7.3多元函数的偏导数152

7.4多元函数的全微分154

7.5多元复合函数的求导法则156

7.6隐函数的求导公式158

7.7方向导数和梯度161

7.8泰勒公式164

7.9偏导数在几何中的应用165

7.10多元函数的极值167

7.11曲线的拟合171

7.12曲线族的包络线172

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序173

｛范例7-1｝函数的定义域和边界方程173

｛范例7-2｝二元函数的极限（图形动画）175

｛范例7-3｝二元函数的偏导数178

｛范例7-4｝二元函数不连续的偏导数181

｛范例7-5｝复合函数的全导数183

｛范例7-6｝复合函数的偏导数185

｛范例7-7｝隐函数的导数187

｛范例7-8｝隐函数的偏导数191

｛范例7-9｝偏微分方程的验证195

｛范例7-10｝二元函数的泰勒公式和麦克劳林公式198

｛范例7-11｝方向导数的计算202

｛范例7-12｝梯度的计算204

｛范例7-13｝数量场和向量场的关系205

｛范例7-14｝曲线的切线和法平面（图形动画）207

｛范例7-15｝曲面的切平面和法线210

｛范例7-16｝单叶双曲面的一般直纹线方程213

｛范例7-17｝二元函数的驻点和极值215

｛范例7-18｝有约束的函数的极值218

｛范例7-19｝曲线的拟合222

｛范例7-20｝曲线族和包络线以及微分方程的奇解225

Ⅲ练习题227

第8章 多元函数的积分233

Ⅰ基本内容233

8.1二重积分233

8.2三重积分236

8.3广义二重积分和含参变量的积分238

8.4多元函数对弧长的曲线积分241

8.5向量函数对坐标的曲线积分242

8.6格林公式及其应用245

8.7含积分因子的全微分方程的解249

8.8多元函数对面积的曲面积分251

8.9向量函数对坐标的曲面积分253

8.10高斯公式和斯托克斯公式255

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序259

｛范例8-1｝三角形区域上的二重积分的计算259

｛范例8-2｝二重积分的换元法263

｛范例8-3｝环形和椭圆形区域上的二重积分的计算267

｛范例8-4｝二重无穷积分和二重瑕积分的计算269

｛范例8-5｝Γ函数的计算271

｛范例8-6｝B函数的证明和计算275

｛范例8-7｝B函数与Γ函数之间的关系277

｛范例8-8｝直角坐标系中三重积分的计算280

｛范例8-9｝三重积分的柱坐标换元法的计算282

｛范例8-10｝三重积分的球坐标换元法的计算284

｛范例8-11｝函数对弧长的曲线积分的计算288

｛范例8-12｝向量函数对坐标的曲线积分的计算291

｛范例8-13｝格林公式的验证和应用293

｛范例8-14｝全微分方程的通解298

｛范例8-15｝含积分因子的全微分方程的通解300

｛范例8-16｝多元函数对面积的曲面积分的计算303

｛范例8-17｝重积分在几何上的应用306

｛范例8-18｝向量函数通过平面的对坐标的曲面积分的计算310

｛范例8-19｝向量函数通过柱面和半球面的曲面积分的计算314

｛范例8-20｝斯托克斯公式的验证319

Ⅲ练习题322

第9章 无穷级数328

Ⅰ基本内容328

9.1常数项无穷级数328

9.2正项级数的敛散性330

9.3交错级数332

9.4函数项级数334

9.5幂级数335

9.6周期函数的傅立叶级数340

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序344

｛范例9-1｝发散的无穷级数344

｛范例9-2｝等比级数的敛散性348

｛范例9-3｝调和级数的敛散性351

｛范例9-4｝p-级数的敛散性和应用354

｛范例9-5｝比较判别法的应用357

｛范例9-6｝比值判别法的应用362

｛范例9-7｝柯西判别法的应用366

｛范例9-8｝有理分式级数的敛散性370

｛范例9-9｝交错级数的敛散性372

｛范例9-10｝交错p-级数的敛散性和应用376

｛范例9-11｝斯特林公式和应用378

｛范例9-12｝用定积分和幂级数计算无穷级数381

｛范例9-13｝幂级数的收敛半径和收敛区间384

｛范例9-14｝p-幂级数的收敛半径和收敛区间391

｛范例9-15｝先积后导的幂级数的和函数395

｛范例9-16｝先导后积的幂级数的和函数397

｛范例9-17｝微分方程的幂级数解397

｛范例9-18｝周期矩形波的傅立叶级数404

｛范例9-19｝周期函数在任意区间的傅立叶级数409

｛范例9-20｝正弦和余弦级数415

Ⅲ练习题419