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第一章 预备知识1

1 实数集1

1.1 集合1

1.2 集合的运算2

1.3 实数集3

1.4 区间与邻域4

1.5 实数的完备性与确界公理6

2 函数7

2.1 常量与变量7

2.2 映射与函数的概念7

2.3 函数的几种特性11

2.4 反函数与复合函数15

2.5 初等函数17

3 常用逻辑符号简介22

3.1 蕴涵与等价22

3.2 全称量词与存在量词22

习题122

第二章 极限与连续函数24

1 数列的极限24

1.1 数列的概念24

1.2 数列的变化趋势与数列极限的概念25

1.3 收敛数列的性质29

1.4 数列极限的四则运算31

1.5 数列收敛的判别法34

习题2.138

2 函数的极限40

2.1 函数极限的概念40

2.2 函数极限的性质及运算法则45

2.3 函数极限存在的判别法48

习题2.252

3 无穷小与无穷大53

3.1 无穷小及其性质53

3.2 无穷小的比较55

3.3 无穷大57

习题2.359

4 连续函数60

4.1 函数的增量61

4.2 函数的连续性61

4.3 函数的间断点及其分类64

习题2.467

5 连续函数的运算与初等函数的连续性68

5.1 连续函数的和、差、积、商的连续性68

5.2 反函数的连续性68

5.3 复合函数的连续性69

5.4 初等函数的连续性71

习题2.572

6 闭区间上连续函数的性质72

6.1 最值定理与有界性定理72

6.2 介值定理74

6.3 函数的一致连续性75

习题2.676

第三章 导数与微分78

1 导数的概念78

1.1 引例78

1.2 导数的概念79

1.3 函数可导与连续的关系84

习题3.185

2 求导法则86

2.1 函数四则运算的求导法则86

2.2 反函数的求导法则90

2.3 复合函数的求导法则91

2.4 初等函数的导数95

习题3.296

3 高阶导数97

3.1 高阶导数的概念97

3.2 Leibniz公式102

习题3.3104

4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则105

4.1 隐函数的求导法则105

4.2 对数求导法107

4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则109

习题3.4112

5 微分113

5.1 微分的概念113

5.2 微分的几何意义115

5.3 微分的运算法则116

5.4 高阶微分118

5.5 微分的应用119

习题3.5121

第四章 微分中值定理与导数的应用123

1 微分中值定理123

1.1 Rolle定理123

1.2 Lagrange中值定理126

1.3 Cauchy中值定理131

习题4.1133

2 L'Hospital法则135

2.1 未定式的概念135

2.2 未定式的定值法136

习题4.2144

3 Taylor公式146

3.1 Taylor多项式146

3.2 Taylor公式147

3.3 Maclaurin公式151

3.4 Taylor公式的应用152

习题4.3155

4 函数单调性的判别法156

习题4.4158

5 函数的极值与最值159

5.1 函数的极值及其求法159

5.2 最值问题163

习题4.5167

6 函数的凸性与曲线的拐点168

6.1 凸函数的概念及其判别法169

6.2 曲线的拐点及其求法171

6.3 函数图形的描绘173

习题4.6178

7 弧微分与平面曲线的曲率178

7.1 弧微分178

7.2 平面曲线的曲率181

7.3 曲率圆与曲率半径184

习题4.7186

第五章 不定积分187

1 不定积分的概念与性质187

1.1 原函数与不定积分187

1.2 基本积分公式190

1.3 不定积分的性质191

习题5.1193

2 不定积分的换元积分法193

2.1 第一换元法194

2.2 第二换元法199

习题5.2203

3 不定积分的分部积分法204

习题5.3208

4 几种典型函数的积分举例208

4.1 有理函数的积分209

4.2 三角函数有理式的积分214

4.3 无理函数积分举例215

习题5.4217

第六章 定积分219

1 定积分的概念与性质219

1.1 定积分问题的引例219

1.2 定积分的概念221

1.3 定积分的几何意义223

1.4 定积分的性质223

习题6.1227

2 微积分基本定理227

2.1 积分上限函数及其导数227

2.2 Newton-Leibniz公式229

习题6.2232

3 定积分的换元法和分部积分法233

3.1 定积分的换元积分法233

3.2 定积分的分部积分236

习题6.3238

4 定积分的应用239

4.1 微元法239

4.2 平面图形的面积241

4.3 体积245

4.4 平面曲线的弧长247

4.5 定积分在物理上的应用251

习题6.4254

5 反常积分255

5.1 无穷积分256

5.2 无界函数积分263

习题6.5268

第七章 空间解析几何271

1 空间直角坐标系271

1.1 空间点的直角坐标271

1.2 空间两点间的距离272

习题7.1274

2 向量及其运算274

2.1 向量的概念274

2.2 向量的加减法，向量与数的乘法275

2.3 向量的坐标278

2.4 向量的方向余弦280

2.5 向量的乘积运算281

习题7.2288

3 平面及其方程289

3.1 平面的方程290

3.2 两平面的夹角293

3.3 点到平面的距离294

习题7.3295

4 空间直线及其方程296

4.1 空间直线的方程296

4.2 点、直线、平面之间的关系299

4.3 过直线的平面束方程302

习题7.4303

5 曲面及其方程305

5.1 曲面方程305

5.2 柱面306

5.3 旋转曲面307

5.4 曲面的参数方程308

习题7.5309

6 曲线及其方程310

6.1 曲线方程310

6.2 空间曲线在坐标面上的投影311

习题7.6313

7 常见的二次曲面314

7.1 椭球面315

7.2 二次锥面316

7.3 双曲面317

7.4 抛物面319

习题7.7321

部分习题参考答案323

参考文献358