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第一篇 微积分1

第一章 函数 极限 连续1

考点与要求1

1函数1

内容精讲1

一、函数的概念及表示方法1

二、函数的性态2

三、几个与函数相关的概念2

四、重要公式与结论3

例题分析4

一、求函数的定义域及表达式4

二、函数的特性6

2极限8

内容精讲8

一、极限的定义8

二、数列极限的基本性质9

三、函数极限的基本性质9

四、无穷小量与无穷大量10

五、极限的四则运算法则10

六、两个重要极限11

七、极限存在的两个准则11

八、洛必达（L’Hospital）法则11

九、重要公式与结论12

例题分析13

一、极限的概念与性质13

二、求函数的极限14

三、求数列的极限21

四、求含参变量的极限23

五、无穷小量阶的比较23

六、函数极限的反问题24

3函数的连续与间断26

内容精讲26

一、连续的定义26

二、函数的间断点及其分类26

三、连续函数性质27

四、重要定理与结论27

例题分析28

一、函数的连续性及间断点的分类28

二、连续函数性质的应用29

自测题30

第二章 一元函数微分学33

考点与要求33

1导数与微分33

内容精讲33

一、导数的概念33

二、导数的计算34

三、微分36

四、重要公式与结论36

例题分析37

一、有关导数的定义及性质37

二、含有绝对值函数的导数40

三、导数的几何意义41

四、变限积分的导数42

五、利用导数公式及法则求导44

六、可导条件下求待定的参数46

七、求函数的高阶导数47

2导数的应用48

内容精讲48

一、函数的单调性与极值48

二、曲线的凹凸性与拐点49

三、曲线的渐近线49

四、函数图形的描绘50

五、重要公式与结论50

例题分析50

一、求函数的单调区间与极值50

二、判断曲线的凹凸性与拐点52

三、求曲线的渐近线53

四、导数的经济应用54

3中值定理及不等式的证明55

内容精讲55

一、微分中值定理55

二、积分中值定理56

三、闭区间上连续函数有关中间值的定理56

四、补充公式与结论56

例题分析57

一、证明存在ε使f（ε）=057

二、讨论方程根的个数及范围58

三、证明存在ε，使f （n） （ε）=0（n=1，2，&）60

四、证明存在ε，使G（ε，f（ε），f’（ε））=061

五、含有f"（ε)（或更高阶导数）的介值问题62

六、双介值问题F（ε，η，…）=063

七、不等式的证明64

自测题68

第三章 一元函数积分学73

考点与要求73

1不定积分73

内容精讲73

一、不定积分的概念与性质73

二、基本积分公式74

三、三个积分方法74

四、重要公式与结论75

例题分析77

一、不定积分的概念和性质77

二、不定积分的计算78

2定积分87

内容精讲87

一、定积分的概念与性质87

二、定积分的几个定理88

三、定积分的计算方法89

四、重要公式与结论89

例题分析90

一、定积分的概念及性质90

二、定积分的概念及性质93

三、有关变限积分的问题98

四、定积分的证明题99

3反常积分101

内容精讲101

一、无穷区间的反常积分101

二、无界函数的反常积分101

三、几个重要的反常积分102

例题分析103

4定积分的应用105

内容精讲105

一、定积分应用的基本原理一微元法（元素法）105

二、定积分的几何应用105

例题分析106

一、定积分的几何应用106

二、定积分的经济应用108

自测题109

第四章 多元函数微积分学112

考点与要求112

1多元函数微分学112

内容精讲112

一、多元函数的极限与连续112

二、偏导数与全微分113

三、复合函数求导法则114

四、隐函数的求导公式115

五、多元函数的极值115

六、重要公式与结论116

例题分析116

一、二元函数的极限与连续116

二、偏导数与全微分的概念118

三、求复合函数的偏导数与全微分121

四、求隐函数的偏导数与全微分126

五、变量替换下表达式的变形128

六、多元函数微分学的反问题131

七、多元函数的极值与最值132

2二重积分137

内容精讲137

一、二重积分的概念与性质137

二、二重积分的计算138

三、重要公式与结论139

例题分析139

一、二重积分的的概念及性质139

二、二重积分的基本计算141

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分144

四、分块函数的二重积分147

五、交换积分次序及坐标系148

六、反常二重积分的计算151

七、与二重积分相关的证明152

自测题152

第五章 无穷级数156

考点与要求156

1常数项级数156

内容精讲156

一、基本概念和基本性质156

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法157

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法157

四、重要公式与结论158

例题分析159

一、正项级数敛散性的判定159

二、交错级数的敛散性的判定163

三、一般项级数敛散性的判定164

四、数项级数敛散性的证明167

五、利用收敛级数求极限170

2幂级数170

内容精讲170

一、函数项级数的收敛域与和函数170

二、幂级数171

例题分析172

一、一般函数项级数的收敛域172

二、求幂级数的收敛半径及收敛域173

三、求幂级数的和函数176

四、求数项级数的和179

五、函数展开为幂级数181

六、经济中的应用182

自测题183

第六章 常微分方程与差分方程186

考点与要求186

1常微分方程186

内容精讲186

一、几个基本概念186

二、常见的一阶微分方程及其解法187

三、高阶线性微分方程187

例题分析189

一、一阶微分方程的求解189

二、高阶线性微分方程192

三、可化为微分方程求解的问题195

四、微分方程的应用197

2差分方程200

内容精讲200

一、差分的概念200

二、一阶常系数线性差分方程200

例题分析200

自测题201

第二篇 线性代数205

第一章 行列式205

考点与要求205

内容精讲205

例题分析208

一、数字型行列式的计算208

二、抽象型行列式的计算213

三、行列式A是否为零的判定215

四、关于代数余子式求和216

自测题217

第二章 矩阵219

考点与要求219

内容精讲219

1矩阵的概念及运算219

一、矩阵的概念219

二、矩阵的运算220

三、矩阵的运算规则220

四、特殊矩阵221

2可逆矩阵222

一、可逆矩阵的概念222

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件222

三、逆矩阵的运算性质222

四、求逆矩阵的方法222

3初等变换、初等矩阵222

一、定义223

二、初等矩阵与初等变换的性质223

4矩阵的秩224

一、矩阵秩的概念224

二、矩阵秩的公式224

5分块矩阵224

一、分块矩阵的概念224

二、分块矩阵的运算225

例题分析226

一、矩阵的概念及运算226

二、特殊方阵的幂230

三、伴随矩阵的相关问题232

四、可逆矩阵的相关问题235

五、初等变换、初等矩阵238

六、矩阵秩的计算239

自测题242

第三章 向量244

考点与要求244

内容精讲244

1向量、向量组的线性相关性244

2极大线性无关组、秩246

3内积，正交规范化方法247

例题分析248

一、线性相关性的判别248

二、向量的线性表示250

三、向量组线性无关的证明251

四、秩、极大线性无关组254

五、正交矩阵、施密特正交化方法260

自测题262

第四章 线性方程组265

考点与要求265

内容精讲265

1克拉默法则265

2齐次线性方程组266

3非齐次线性方程组267

例题分析268

一、线性方程组的基本概念题268

二、线性方程组的求解272

三、基础解系278

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由 AX= 0的基础解系反求A279

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系281

六、两个方程组的公共解282

七、同解方程组283

八、线性方程组的有关杂题285

自测题288

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵291

考点与要求291

内容精讲291

1特征值、特征向量291

一、定义291

二、特征值的性质291

三、求特征值、特征向量的方法292

2相似矩阵、矩阵的相似对角化292

一、定义292

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件292

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件293

3实对称矩阵的相似对角化293

一、定义293

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化293

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤293

例题分析294

一、特征值，特征向量的求法294

二、两个矩阵有相同的特征值的证明298

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法299

四、矩阵是否相似于对角阵300

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数303

六、由特征值、特征向量反求A303

七、矩阵相似及相似标准形304

八、相似对角阵的应用309

自测题312

第六章 二次型315

考点与要求315

内容精讲315

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵315

一、二次型概念315

二、二次型的矩阵表示315

2化二次型为标准形、规范形 合同二次型316

一、定义316

3正定二次型、正定矩阵317

一、定义317

例题分析318

一、二次型的矩阵表示318

二、化二次型为标准形、规范形319

三、合同矩阵、合同二次型325

四、正定性的判别328

五、正定二次型的证明332

六、综合杂题333

自测题334

第三篇 概率论与数理统计337

第一章 随机事件与概率337

考点与要求337

1事件、样本空间、事件间的关系与运算337

内容精讲337

例题分析339

2概率、条件概率、独立性和五大公式341

内容精讲341

例题分析343

3古典概型与伯努利概型347

内容精讲347

例题分析348

自测题350

第二章 随机变量及其概率分布353

考点与要求353

1随机变量及其分布函数353

内容精讲353

例题分析354

2离散型随机变量和连续型随机变量355

内容精讲355

例题分析356

3常用分布357

内容精讲357

例题分析360

4随机变量函数的分布363

内容精讲363

例题分析364

自测题365

第三章 多维随机变量及其分布368

考点与要求368

1二维随机变量及其分布368

内容精讲368

例题分析370

2随机变量的独立性375

内容精讲375

例题分析376

3二维均匀分布和二维正态分布381

内容精讲381

例题分析382

4两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布384

内容精讲384

例题分析385

自测题391

第四章 随机变量的数字特征394

考点与要求394

1随机变量的数学期望和方差394

内容精讲394

例题分析396

2矩、协方差和相关系数403

内容精讲403

例题分析404

3切比雪夫不等式412

内容精讲412

例题分析412

自测题413

第五章 大数定律和中心极限定理416

考点与要求416

内容精讲416

例题分析417

自测题419

第六章 数理统计的基本概念420

考点与要求420

1总体、样本、统计量和样本数字特征420

内容精讲420

例题分析421

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布423

内容精讲423

例题分析425

自测题429

第七章 参数估计432

考点与要求432

1点估计432

内容精讲432

例题分析432

2估计量求法437

内容精讲437

例题分析438

自测题441