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一 你最熟悉的朋友——自然数1

1.华生的第一个问题2

2.巨轮的长3

3.孩子与门牌号码3

4.荷兰人买猪4

5.创记录的因数分解6

6.被2160整除的立方数7

7.哪几盏灯亮着？8

8.何时重逢9

9.丢番图的墓碑10

10.请添三个数字11

11.欧几里得永垂不朽12

12.因数分解的妙法13

13.十全数15

14.十全数的韧性17

15.分油问题18

16.辗转相除法与裴蜀恒等式19

17.货物的单价21

18.能变成均等吗？21

19.素数的一个特征22

20.最大公约数的性质23

21.唯一分解定理的证明24

1.三角形与三角数27

二 多角数、完全数及其他27

2.等差数列的求和29

3.正方形与平方数29

4.平方数与平方式31

5.五边形与五角数32

6.立体图形33

7.一些不难证明的公式35

8.一个不平凡的结论36

9.什么数恰好有60个因数？38

10.因数的和39

11.完全数——人们对它的认识并不完全40

12.亲和数42

13.高阶亲和数43

三 素数——是永恒的谜吗？45

1.是合数还是素数？45

2.乘法公式大显身手46

3.爱拉托斯散的筛子47

4.殆素数与1+2的249

5.辛勤劳动的结晶——素数表50

6.最大的素数51

7.修道士的工作——梅森数51

8.费尔马说错了53

9.正十七边形的尺规作图54

10.欧几里得的巧妙证明55

11.费尔马教与素数的无限性56

12.量与质57

13.素数定理58

14.算术级数中的素数60

15.素数之间的间隙61

16.一个容易的问题62

17.几个无理数62

18.“天造地设”的素数幻方63

19.有表示素数的公式吗？64

20.哥德巴赫猜测66

21.两个合数的和67

22.李生素数67

32.又一些猜测与问题68

24.一个被推翻了的猜测70

四 大师的发明——同余71

1.华生的新把戏72

2.同余73

3.1+1=074

4.在费尔马失足的地方76

5.整除的判别法76

7.求余数78

6.一个简单的数字问题78

8.47的个位数字79

9.1×3×5×…×1989的末三位数字80

10.华生难倒了福尔摩斯81

11.整除问题举例82

12.三角数与偶完全数的末位数字84

13.11…1不是平方数85

14.平方数的末尾能有几个4？85

15.平方数的末位数字86

16.用1、2、3、4、5、6、7作成的七位数87

17.无相同项的两个数列88

18.完全剩余系89

19.有超韧性数吗？91

20.抽屉原则牛刀小试91

21.在不定方程中的应用92

22.在堆垒问题中的应用94

五 欧拉的Φ函数97

1.放石子98

2.空格有了石子99

3.染色问题101

4.Φ(n)的计算公式102

5.一个求和问题103

7.30有惊人的性质104

6.副产品104

8.Φ(n)是积性函数106

9.“我正是这样想的的!”107

10.卡片上的数108

11.欧拉定理109

12.7的幂结尾能是0000001吗？110

13.数字全不为0的倍数110

14.79999的末三位数字111

15.费尔马小定理111

16.伪素数112

17.群、环、域113

1.百鸡问题115

六 一些不定方程的解115

2.另有妙法116

3.中国剩余定理119

4.太阳神的牛120

5.勾股数122

6.换一换汤124

7.复数与勾股数125

8.x2+y2=(y+1)2的解126

9.单位圆上的有理点127

10.距离为整数的整点128

11.成等差数列的三个平方数129

12.弹子的个数130

13.张冠李戴的沛尔方程131

14.最小解与一般解132

15.罗马军团问题134

16.方程x2-2y2=±1134

17.勾股为连续的自然数136

18.小红家的号码138

19.方程x2-dy2=n140

七 机器人与坑142

1.罗伯特落入坑里142

2.重蹈覆辙143

3.结论与问题144

4.小心地雷!144

5.罗伯特家族145

6.狄利克雷定理147

7.克罗内克尔定理148

8.幂的前n位数字149

9.马勒的定理149

八 形形色色的初等问题151

1.哥伦布式的问题151

2.笛卡尔不敢动手152

3.欧拉的恒等式154

4.-1是平方和155

5.递降法156

6.威尔逊没有证明的威尔逊定理157

7.两个完系相乘能是完系吗？159

8.平方和及其他160

9.华林问题163

10.任意的七个整数164

11.剩余类相加165

12.从7到2n-1168

13.美国竞赛题170

14.n1中P的次数172

15.二项式系数中哪些是奇数？174

16.一道国际数学竞赛题176

17.？+？+？+…+？不是整数178

18.最小公倍数的上界180

19.证明的完成181

20.解题能手的问题184

21.数论中三颗明珠186

九 分析与数论缔结姻缘189

1.张教授堆砖189

2.收敛与发散191

3.这里又出现了欧拉193

4.黎曼ζ函数194

5.“我证明了黎曼假设!”196

6.几乎所有197

7.圆法200

十 固若金汤的城堡——费尔马大定理202

1.x4+y4=z4无解203

2.欧拉迈出了第一步205

3.化名的女数学家205

4.从欧拉到库麦尔207

5.什么是整数208

6.高斯整数209

7.Z［i］中的唯一分解定理211

8.再谈勾股数212

9.1847年发生的事214

10.唯一分解定理不一定成立216

11.更通俗的例子217

12.理想与青春之梦218

13.伯努利数与正规素数220

14.二次域222

15.证实高斯猜测的历程223

16.近年来的两大进展226

17.猜测与反例228

18.费尔马有没有找到证明229