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第1章 集合论基础1

1.1 集合的基础1

1.2 集合的运算3

1.3 映射5

1.4 关系、次序关系、等价关系和分类7

参考文献12

第2章 群论基础13

2.1 群的定义13

2.2 子群和陪集16

2.3 共轭与共轭类18

2.4 不变子群与商群19

2.5 同态与同构21

2.6 同态的序列23

2.7 直积群24

参考文献25

第3章 代数系和数系27

3.1 代数系的概念27

3.2 自然数及其性质28

3.3 整数整域29

3.4 体和有理数体30

3.5 Cauchy数列和实数体32

3.6 复数体和代数学基本定理33

3.7 超复数数系34

3.8 四元数系Q（R）35

3.9 八元数系Ω和十六元数系T（R）37

3.10 向量空间38

3.11 体上的代数40

3.12 例子：谐振子的能级41

参考文献43

第4章 向量空间的理论44

4.1 向量空间中的一些基础理论44

4.2 商空间46

4.3 线性映射47

4.4 对偶空间49

4.5 不变子空间51

4.6 Euclid空间53

4.7 酉空间55

参考文献56

第5章 群表示论概要58

5.1 群表示的概念58

5.2 可约表示和完全可约表示60

5.3 酉表示62

5.4 矩阵的张量积与张量积空间中的变换63

5.5 群表示论中的一些重要定理64

5.6 正则表示73

5.7 量子力学和群论75

参考文献77

第6章 张量的概念79

6.1 SO（2）群及其向量79

6.2 SO（2）群的张量81

6.3 SO（3）群的张量82

6.4 惯性张量85

6.5 O（3）群的张量87

6.6 齐次Lorentz群L90

6.7 齐次Lorentz群L的张量及其结构92

6.8 电磁场张量及Maxwell方程93

6.9 4维不变量95

参考文献98

7.1 向量空间中基的变换和GL（n,K）群99

10.4 外微分形式和向量场的微分运算 （199

第7章 线性群的张量99

7.2 协变向量100

7.3 GL（n,K）群的张量103

7.4 线性张量的运算105

7.5 张量分量的变换和张量的缩并107

7.6 正交群的张量110

7.7 张量代数J（V）110

7.8 2阶反对称协变张量空间111

7.9 协变张量的反称化112

7.10 外积（反称积）114

7.11 Ar（V）的构造115

7.12 外代数116

参考文献117

第8章 O（3）群、SO（3）群和SU（2）群及其应用118

8.1 道路连通性问题118

8.2 SO（3）群的道路连通性120

8.3 单连通的SU（2）群122

8.4 SU（2）与SO（3）的2—1同态123

8.5 四元数和有限转动的合成126

8.6 SU（2）群和旋量127

8.7 矩阵的指数函数及其性质130

8.8 U（n）群及其Lie代数131

8.9 SU（2）的几何意义133

8.10 A1型Lie代数134

8.11 A1型代数的Bose子算符实现135

8.12 Lie代数及其表示的一般概念137

8.13 A1型Lie代数的有限维既约表示的完全系138

8.14 表示ρ的权以及ρ′？ρ″的约化140

8.15 Clebsch-Gordan系数143

8.16 既约张量算子144

8.17 Wigner-Eckart定理和选择定则145

8.18 SO（3）群的有限维既约表示的完全系147

8.19 O（3）群的有限维既约表示的完全系150

8.20 单电子原子多极矩跃迁的选择定则151

参考文献152

9.1 曲线坐标154

第9章 曲线坐标和张量分析154

9.2 曲线坐标下的基本度量形式156

9.3 把张量的概念进一步扩展158

9.4 曲线坐标下的向量和张量161

9.5 曲线坐标系的基本方程163

9.6 协变微分166

9.7 梯度、散度和旋度作为协变导数170

9.8 Newton方程在曲线坐标下的形式174

9.9 仿射空间和Riemann空间176

9.10 Minkowski几何178

9.11 Riemann空间中的张量分析182

9.12 Riemann曲率张量186

9.13 Einstein场方程188

9.14 短程线和力的几何化191

参考文献194

10.1 外微分形式和外积195

第10章 R3中的外微分形式及其应用195

10.2 向量代数与外积运算197

10.3 外微分形式的外微分197

10.5 热力学中的Maxwcll等式200

10.6 Maxwcll方程组的外微分形式201

10.7 外微分形式的积分以及Stokes定理203

10.8 Stokes定理、散度定理和Green定理205

10.9 完全可积和Frobcnius定理208

10.10 闭形式和恰当形式及其应用209

参考文献212

第11章 拓扑空间213

11.1 哥尼斯堡七桥问题213

11.2 正多面体的Euler示性数214

11.3 拓扑空间的引入217

11.4 聚点、闭集和闭包218

11.5 内点、外点和边界220

11.6 邻域和邻域系221

11.7 连续映射和同胚222

11.8 特殊拓扑空间224

11.9 拓扑空间的附加特性228

参考文献233

第12章 基本群234

12.1 一个简单的例子234

12.2 道路连通235

12.3 闭道路和同伦236

12.4 基本群238

12.5 同伦映射和同伦型241

12.6 Euclid单纯形、复形及三角剖分245

12.7 基本群的计算定理248

参考文献250

第13章 高维同伦群和孤子251

13.1 引言251

13.2 高维同伦群的定义252

13.3 相对同伦群253

13.4 恰当序列254

13.5 拓扑不变量255

参考文献261

第14章 流形262

14.1 流形的引入262

14.2 流形的定义264

14.3 可微映射267

14.4 可微映射的秩以及浸入、浸没、嵌入和子流形268

14.5 切向量和切向量空间271

14.6 C∞映射的微分274

14.7 协变向量276

14.8 积流形277

14.9 向量场及其对数量场的作用277

14.10 向量场的交换子积278

参考文献279

第15章 外微分形式280

15.1 切张量和张量场280

15.2 反称积282

15.3 外微分运算d284

15.4 闭形式、恰当形式和Poincaré引理285

15.5 映射f的推进f*和拉回f287

15.6 向量场与微分形式的内积289

15.7 Lie导数问题290

15.8 向量空间V上的度规295

15.9 度规向量空间上的和流形上的Hodge*运算296

15.10 余微分301

15.11 向量值形式303

参考文献305

第16章 Lie群和Lie代数306

16.1 Lie群的定义306

16.2 左不变向量场307

16.3 Lie群的Lie代数309

16.4 Lie群和Lie代数的同态310

16.5 Lie子群和Lie子代数311

16.6 单参数子群312

16.7 指数映射313

16.8 伴随表示315

16.9 变换群316

16.10 典型群318

16.11 典型群的Lie代数319

16.12 Lie群上的不变形式321

16.13 通用覆盖群323

16.14 爱尔兰根纲领325

参考文献326

17.1 引言327

第17章 纤维丛327

17.2 纤维丛329

17.3 切丛和余切丛335

17.4 张量丛337

17.5 向量丛338

17.6 主（纤维）丛339

17.7 伴丛341

参考文献344

18.1 位形空间、状态空间和相空间345

第18章 Hamilton力学的辛结构345

18.2 辛形式和辛流形347

18.3 Hamilton向量场和Hamilton正则方程347

18.4 Lagrange力学348

18.5 Poisson括号和辛变换351

18.6 正则变换问题353

18.7 H显含时间t时的切触变换355

18.8 H显含时间t时的正则变换357

18.9 H显含时间t时的Poisson括号359

参考文献360

第19章 Frobenius理论361

19.1 引言361

19.2 从微分几何角度看完全可积问题363

19.3 流形上的全微分方程365

19.4 对偶分布367

19.5 有关流形上外代数的一些术语368

19.6 Frobenius定理的微分形式表述369

19.7 Frobenius定理在热力学中的应用和Carathédory的不可接近定理372

19.8极大积分流形373

参考文献374

第20章 同调群375

20.1 无向单形和有向单形375

20.2 单纯复合形和链376

20.3 有关Abel群的一些理论379

20.4 单纯复合形K的q维同调群380

20.5 同调群的性质384

20.6 同调群例387

20.7 相对同调群390

20.8 恰当序列和Kunneth公式392

20.9 奇异同调群397

20.10 流形的剖分401

参考文献402

第21章 流形上的积分理论403

21.1 Euclid空间R11中的积分403

21.2 向量空间的定向405

21.3 流形的定向406

21.4 诱导定向408

21.5 Rn中的n次形式的积分410

21.6 形式在链上的积分411

21.7 定向流形上的积分413

21.8 带边流形上的Stokes定理419

21.9 微分形式作为多重线性映射观点下的积分421

21.10 应用：力学中的不变积分422

参考文献426

22.1 流形上的deRham上同调群427

第22章 deRham上同调群427

22.2 deRham上同调群的例子429

22.3 有紧致支集的deRham上同调群434

22.4 deRham定理435

22.5 映射度和环绕数438

22.6 Laplace-Beltrami算子的另一些性质440

22.7 Hodge分解定理及其在上同调群理论中的应用442

22.8 Poincaré对偶性445

22.9 上积447

参考文献448

第23章 Gauss-Bonnet定理、流形上的向量场和449

数量场以及Morse理论449

23.1 曲线和曲面上曲线的曲率449

23.2 曲面的曲率451

23.3 Gauss-Bonnet定理453

23.4 从Gauss-Bonnet定理看闭曲面的Euler示性数455

23.5 曲面的亏格和紧致曲面的分类456

23.6 曲面上的向量场460

23.7 奇点的指数以及Poincare定理462

23.8 Morse理论的一个例子464

23.9 Morse不等式466

参考文献468

第24章 仿射联络空间和Riemann流形469

24.1 引言469

24.2 仿射联络471

24.3 张量的协变微分474

24.4 仿射联络的挠率与曲率476

24.5 无挠率仿射联络空间Lon上的几何478

24.6 Riemann度量481

24.7 Riemann流形的基本定理483

24.8 Riemann流形中的体积元488

24.9 公理化方法490

24.10 其他495

参考文献497

第25章 应用：电动力学498

25.1 向量场的势和上同调理论498

25.2 真空中Maxwell方程组的回顾501

25.3 规范场Aμ503

25.4 Minkowski流形及其上的电磁场张量506

25.5 U（1）丛和主丛509

25.6 主丛上的联络形式和曲率形式513

25.7 U（1）丛上的联络与电磁场517

25.8 A-B效应与微分几何518

25.9 含自由磁荷和磁流的Maxwell方程组520

25.10 从电荷守恒定律推出Maxwell方程组的数学形式524

参考文献526