微积分学习指导PDF|Epub|txt|kindle电子书版本网盘下载

微积分学习指导PDF格式电子书版下载

注意：本站所有压缩包均有解压码： 点击下载压缩包解压工具

第一篇 内容概述、归纳与解题方法综述1

第一章 函数与极限1

○、预备知识1

（一）集合1

1.集合的概念及运算1

2.数轴·区间·邻域2

（二）映射4

1.映射的概念4

2.逆映射4

3.复合映射4

（三）几个常用的代数公式5

1.实数x的绝对值5

2.平均值不等式5

3.几个常用等式（公式）5

4.排列组合知识5

（四）三角函数公式与反三角函数6

1.常用的三角公式6

2.反三角函数7

【习题1.0】10

一、函数11

（一）内容概述与归纳11

1.函数的概念11

2.函数的常见几何特性12

3.反函数和复合函数13

4.初等函数14

（二）解题方法与典型、综合例题15

1.函数的定义域求解的常用依据和注意事项15

2.典型例题16

【习题1.1】18

二、数列的极限19

（一）内容概述与归纳19

1.数列极限的概念与性质19

2.数列极限判定准则和柯西收敛原理20

3.数列的子列21

4.几个重要的和常用的已知极限21

5.无穷大的概念22

（二）解题方法与典型、综合例题23

1.先恒等变换再求极限23

2.先证明极限存在，后求极限或论证23

3.缩放技巧在夹逼准则和用ε-N等定义论证极限中的应用23

4.两类和式极限的运算24

【习题1.2】26

三、函数的极限26

（一）内容概述与归纳26

1.自变量的六种变化趋势26

2.函数极限的概念26

3.函数极限的存在条件、性质和运算29

4.夹逼准则和两个重要极限32

（二）解题方法与典型、综合例题32

1.函数极限未定型引入和求函数极限的两个注意事项32

2.极限计算的几种技巧32

3.两类函数的极限计算34

【习题1.3】35

四、无穷小量阶的比较35

（一）内容概述与归纳35

1.无穷小与无穷大的基本概念及其关系35

2.无穷小的比较·等价无穷小量36

3.常用等价无穷小量37

4.无穷小量的性质37

（二）解题方法与典型、综合例题37

1.解题方法综述37

2.典型、综合例题39

【习题1.4】41

五、函数的连续性41

（一）内容概述与归纳41

1.函数连续的基本概念41

2.连续函数的运算法则41

3.间断点的概念和分类42

4.闭区间上连续函数的性质42

（二）解题方法与典型、综合例题43

1.求函数连续点处的极限43

2.讨论分段函数在分段点处的连续性44

3.讨论有理函数的间断点44

4.证明方程、代数式之根的存在性44

【习题1.5】45

第二章 导数与微分46

一、导数的概念46

（一）内容概述与归纳46

1.导数的定义及其几何意义46

2.函数的可导性与连续性的关系47

3.导函数48

4.导数为∞的特别注解49

（二）解题方法与典型、综合例题49

1.用导数的定义求导数49

2.导数存在性的证明及应用50

3.与抽象函数可导性相关的极限51

4.利用可导性求解分段函数之未知数的方法51

【习题2.1】52

二、函数的求导法则53

（一）内容概述与归纳53

1.函数的和、差、积、商的求导法则53

2.反函数的求导法则54

3.基本导数公式54

4.复合函数的求导法则54

（二）典型、综合例题55

【习题2.2】57

三、高阶导数58

（一）内容概述与归纳58

1.高阶导数基本概念58

2.函数和差、积的n阶导数58

（二）典型、综合例题59

【习题2.3】61

四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数62

（一）内容概述与归纳62

1.隐函数的导数62

2.由参数方程所确定的函数的导数62

（二）解题方法与典型、综合例题63

1.隐函数求导例题63

2.对数求导法64

3.求解导数的综合例题65

【习题2.4】66

五、微分67

（一）内容概述与归纳67

1.微分的概念67

2.可微与可导的关系68

3.微分公式与微分运算法则68

4.一阶微分形式的不变性69

5.微分在近似计算中的应用70

（二）典型、综合例题71

1.微分基本例题71

2.近似计算例题72

【习题2.5】72

六、函数导数理论在经济学中的应用——边际·弹性73

1.经济学中的常用的几个函数73

2.边际74

3.弹性74

【习题2.6】77

第三章 微分中值定理与导数的应用78

一、微分中值定理78

（一）内容概述与归纳78

1.函数极值及存在的必要条件78

2.微分中值定理78

（二）解题方法与典型、综合例题80

1.概念、定理验证80

2.判断方程根的存在81

3.应用中值定理证明等式与不等式81

4.利用中值定理求极限82

【习题3.1】82

二、求极限之洛必达法则83

（一）内容概述与归纳83

1.洛必达法则83

2.应用洛必达法则时应注意事项83

（二）解题方法与典型、综合例题84

1.应用洛必达法则求极限基本方法84

2.洛必达法则与其他求极限的方法综合使用85

3.与洛必达法则注意事项相关的反例86

（三）几种常见无穷大量的比较86

【习题3.2】87

三、函数的单调性与极值88

（一）内容概述与归纳88

1.函数的单调性88

2.函数的极值与最值89

3.利用函数的导数特性证明不等式之综述90

（二）典型、综合例题91

【习题3.3】92

四、曲线的凹凸性与拐点93

（一）内容概述与归纳93

1.曲线的凹凸性93

2.曲线的拐点及其判别94

（二）解题方法与典型、综合例题94

1.确定曲线的凹凸性和拐点的步骤94

2.凹凸性相关的不等式95

【习题3.4】96

五、函数图形的描绘96

（一）内容概述与归纳96

1.曲线的渐近线96

2.函数的综合作图98

（二）解题方法与典型、综合例题98

1.曲线的渐近线题解98

2.利用函数特性描绘函数图形99

【习题3.5】100

六、函数最值在经济中的应用100

1.平均成本最低问题100

2.最大利润（税前或免税情况）100

3.最大利润（税后情况）和最大征税收益问题101

4.最优批量问题102

【习题3.6】102

第四章 不定积分104

一、内容概述、归纳与习题104

（一）原函数与不定积分104

1.原函数与不定积分的概念104

2.不定积分的性质105

3.不定积分的基本公式105

【习题4.1】106

（二）不定积分换元法108

1.第一换元积分法（“凑微分”法）108

2.第二换元积分法110

3.简单的无理积分112

【习题4.2】113

（三）分部积分法114

1.分部积分公式、常规例题和需要关注的问题114

2.分部积分法衍生两种特殊的解题方法115

【习题4.3】116

（四）有理函数的不定积分116

1.有理函数的概念116

2.四类最简真分式的不定积分117

3.有理函数积分法要点117

4.三角函数有理式的不定积分118

【习题4.4】119

二、解题方法与典型、综合例题119

（一）解题方法综述119

1.解题的一个基本思路119

2.换元积分法的两个说明119

3.解难题的方法综述120

（二）解题分析与典型、综合例题120

1.不定积分概念的例题120

2.最简单的不定积分121

3.换元积分法122

4.含凑微分式的不定积分与分部积分法125

5.“凑微分”的实质内涵126

6.有理函数的不定积分·待定系数法126

7.三角有理函数的不定积分128

第五章 定积分131

一、内容概述、归纳与习题131

（一）定积分的概念与性质131

1.曲边梯形的面积131

2.定积分的定义、可积条件及其几何意义131

3.定积分的性质133

【习题5.1】135

（二）微积分的基本公式136

1.积分上、下限函数及其导数136

2.牛顿-莱布尼兹公式137

【习题5.2】138

（三）定积分的计算方法139

1.定积分的换元积分法139

2.定积分的分部积分法142

【习题5.3】143

（四）广义积分与Γ-函数143

1.无穷限的广义积分144

2.无界函数的广义积分145

3.广义积分解题步骤和相关事项147

4.Γ-函数149

【习题5.4】149

（五）定积分的应用150

1.定积分的微元法150

2.定积分在几何学上的应用151

3.定积分在经济学中的应用154

【习题5.5】155

二、解题方法与典型、综合例题156

（一）定积分的概念及其几何意义的理解应用156

1.用定义求定积分·和式极限156

2.定积分是面积公式的理论源头157

（二）分类典型、综合例题与解题方法157

1.定积分基本性质的综合例题157

2.定积分中值定理综合分析题158

3.变上、下限积分的综合例题159

4.定积分的综合计算方法160

5.广义积分的综合例题162

6.定积分的几何应用综合题163

第六章 多元函数微分165

一、空间解析几何简介165

（一）内容概述与归纳165

1.空间直角坐标系165

2.空间曲面与方程166

3.空间平面方程166

4.几种常见的空间曲面166

5.空间曲线168

6.平面极坐标系169

（二）解题方法与典型、综合例题170

1.空间图形特性的直观判断170

2.空间平面方程171

3.空间图形不同坐标、方程形式的变换172

4.空间曲面及其上曲线的投影172

【习题6.1】173

二、多元函数的基本概念174

（一）内容概述与归纳174

1.平面点集174

2.多元函数176

3.二元函数的极限176

4.二元函数的连续性177

（二）解题方法与典型、综合例题178

1.二元函数极限计算综述178

2.典型、综合例题179

【习题6.2】180

三、偏导数与全微分181

（一）内容概述与归纳181

1.偏导数的概念与几何意义181

2.高阶偏导数的定义182

3.偏导数的求解182

4.偏导数在经济学中的应用182

5.全微分185

（二）解题方法与典型、综合例题186

1.偏导求解186

2.全微分在近似计算的应用187

【习题6.3】188

四、多元函数的微分法188

（一）内容概述与归纳188

1.全导数与复合函数求偏导法188

2.隐函数求导法189

3.全微分形式不变性189

（二）解题方法与典型、综合例题190

1.求复合函数偏导数的关键问题190

2.求隐函数偏导的方法191

3.带抽象函数的复合函数求偏导法192

4.全微分例题193

【习题6.4】194

五、多元函数的极值194

（一）内容概述与归纳194

1.无条件极值194

2.条件极值——拉格朗日乘数法194

（二）典型、综合例题195

【习题6.5】196

第七章 二重积分198

一、内容概述与归纳198

（一）二重积分的概念与性质198

1.二重积分的定义198

2.二重可积函数和二重积分的几何意义198

3.二重积分的性质199

【习题7.1】200

（二）二重积分的计算200

1.重积分化累次积分简述200

2.直角坐标系下累次积分的计算201

3.改变累次积分的顺序（而后进行计算）203

【习题7.2】204

（三）二重积分的变量代换205

1.二重积分的一般换元法205

2.极坐标下二重积分的计算206

【习题7.3】208

（四）二重积分的应用209

1.计算平面图形的面积209

2.计算立体的体积209

3.计算广义积分209

【习题7.4】210

二、解题方法与典型、综合例题211

1.二重积分计算的关键问题211

2.利用二重积分求几何形体的面、体积212

3.广义二重积分的例题213

第八章 无穷级数215

一、常数项级数215

（一）内容概述与归纳215

1.级数及其敛散性的概念215

2.常数项级数的基本性质217

（二）解题方法与典型、综合例题217

1.根据定义判定已知级数的敛散性217

2.根据级数收敛的必要条件判定级数的发散性218

3.利用已知等比级数和P-级数的敛散性解题218

4.一类应用定义判定级数的敛散性的习题218

【习题8.1】219

二、正项级数219

（一）内容概述与归纳219

1.正项级数的概念及其敛散性的判别219

2.通项为无穷大量之比的几个级数的敛散性221

（二）解题方法与典型、综合例题222

1.应用比较判别法的缩放技巧222

2.巧用P-级数的性质判断所给级数的敛散性222

3.应用比较判别法的极限形式要有无穷小量阶比较的观点223

4.应用比值判别法时最好牢记几种常见无穷大量的比较223

5.通项中含有n次幂式的因子时可试用根值判别法223

【习题8.2】224

三、任意项级数224

（一）内容概述与归纳224

1.绝对收敛与条件收敛224

2.交错级数与莱布尼兹判别法225

3.级数的柯西收敛原理225

（二）解题方法与典型、综合例题225

1.任意项级数敛散性判别的总体思路225

2.先判别级数是否绝对收敛226

3.交错级数可试用莱布尼茨判别法226

4.常数项级数审敛法小结227

【习题8.3】228

四、幂级数和函数的幂级数展开229

（一）内容概述与归纳229

1.函数项级数的基本概念229

2.幂级数230

3.函数的幂级数展开231

（二）解题方法与典型、综合例题233

1.认识到存在两种收敛状态——点态收敛和整区域收敛233

2.解题方法和注意事项233

3.典型、综合例题233

【习题8.4】235

第九章 常微分方程237

一、内容概述、归纳与习题237

（一）微分方程的基本概念237

1.微分方程的定义237

2.微分方程的解237

3.解微分方程应用题的方法和步骤238

4.关于微分方程求解的特别说明239

【习题9.1】239

（二）一阶微分方程及其求解240

1.可分离变量方程240

2.齐次微分方程241

3.全微分方程242

4.一阶线性微分方程243

5.伯努利方程244

【习题9.2】244

（三）高阶微分方程245

0.预备知识245

1.二阶常系数齐次线性微分方程246

2.二阶常系数非齐次线性微分方程247

3.二类高阶微分方程250

【习题9.3】252

（四）微分方程在经济学中的应用253

【习题9.4】255

二、解题方法与典型、综合例题256

（一）一阶和可降阶微分方程的解法综述256

1.一阶微分方程及其解法256

2.可降阶高阶微分方程及其解法256

3.全微分方程求解256

（二）二阶非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=f（x）的解题综述256

1.方程求解步骤256

2.求解方程之特解的详细思路256

（三）二阶微分方程按自由项细分为几个简化类之求特解的方法257

1.【简化类型Ⅰ】257

2.【简化类型Ⅱ】258

3.【简化类型Ⅲ】258

4.【简化类型Ⅳ】259

5.【简化类型Ⅴ】260

附录 微分方程求解方法列表261

第二篇 练习题及其解答和教学研讨263

一、章节习题、自测题及其解答与杂难综合例题263

（一）第一章 函数与极限263

Ⅰ.第一章习题解答263

【习题1.0】（预备知识）（解答）263

【习题1.1】（函数）（解答）265

【习题1.2】（数列的极限）（解答）268

【习题1.3】（函数的极限）（解答）269

【习题1.4】（无穷小量阶的比较）（解答）271

【习题1.5】（函数的连续性）（解答）272

Ⅱ.第一章自测题及其解答273

自测题一273

自测题一参考答案274

Ⅲ.第一章杂难题与综合例题275

（二）第二章 导数与微分279

Ⅰ.第二章习题解答279

【习题2.1】（导数的概念）（解答）279

【习题2.2】（函数的求导法则）（解答）280

【习题2.3】（高阶导数）（解答）282

【习题2.4】（隐函数及由参数方程所确定的函数的导数）（解答）283

【习题2.5】（微分）（解答）284

【习题2.6】（函数导数理论在经济学中的应用）（解答）285

Ⅱ.第二章自测题及其解答286

自测题二286

自测题二参考答案287

Ⅲ.第二章杂难题与综合例题288

（三）第三章 微分中值定理与导数的应用292

Ⅰ.第三章习题解答292

【习题3.1】（微分中值定理与导数的应用）（解答）292

【习题3.2】（求极限之洛必达法则）（解答）293

【习题3.3】（函数的单调性与极值）（解答）293

【习题3.4】（曲线的凹凸性与拐点）（解答）296

【习题3.5】（函数图形的描绘）（解答）297

【习题3.6】（函数最值在经济中的应用）（解答）299

Ⅱ.第三章自测题及其解答300

自测题三300

自测题三参考答案300

Ⅲ.第三章杂难题与综合例题302

（四）第四章 不定积分306

Ⅰ.第四章习题解答306

【习题4.1】（原函数与不定积分的概念）（解答）306

【习题4.2】（不定积分换元法）（解答）308

【习题4.3】（分部积分法）（解答）311

【习题4.4】（有理函数的不定积分）（解答）313

Ⅱ.第四章自测题及其解答314

自测题四314

自测题四参考答案315

Ⅲ.第四章杂难题与综合例题317

（五）第五章 定积分322

Ⅰ.第五章习题解答322

【习题5.1】（定积分的概念与性质）（解答）322

【习题5.2】（微积分的基本公式）（解答）323

【习题5.3】（定积分的计算方法）（解答）324

【习题5.4】（广义积分与r-函数）326

【习题5.5】（定积分的应用）（解答）327

Ⅱ.第五章自测题及其解答329

自测题五329

自测题五参考答案331

Ⅲ.第五章杂难题与综合例题332

（六）第六章 多元函数微分336

Ⅰ.第六章习题解答336

【习题6.1】（空间解析几何简介）（解答）336

【习题6.2】（多元函数的基本概念）（解答）337

【习题6.3】（偏导数与全微分）（解答）338

【习题6.4】（多元函数的微分法）（解答）340

【习题6.5】（多元函数的极值）（解答）341

Ⅱ.第六章自测题及其解答343

自测题六343

自测题六参考答案344

Ⅲ.第六章杂难题与综合例题346

（七）第七章 二重积分350

Ⅰ.第七章习题解答350

【习题7.1】（重积分的概念与性质）（解答）350

【习题7.2】（二重积分的计算）（解答）350

【习题7.3】（重积分的变量代换）（解答）352

【习题7.4】（二重积分的应用）（解答）353

Ⅱ.第七章自测题及其解答354

自测题七354

自测题七参考答案355

Ⅲ.第七章杂难题与综合例题356

（八）第八章 无穷级数359

Ⅰ.第八章习题解答359

【习题8.1】（常数项级数）（解答）359

【习题8.2】（正项级数）（解答）360

【习题8.3】（任意项级数）（解答）361

【习题8.4】（幂级数和函数的幂级数展开）（解答）362

Ⅱ.第八章自测题及其解答366

自测题八366

自测题八参考答案367

Ⅲ.第八章杂难题与综合例题368

（九）第九章 常微分方程372

Ⅰ.第九章习题解答372

【习题9.1】（微分方程的基本概念）（解答）372

【习题9.2】（一阶微分方程及其求解）（解答）373

【习题9.3】（二阶常系数线性微分方程）（解答）375

【习题9.4】（微分方程在经济学中的应用）（解答）377

Ⅱ.第九章自测题及其解答379

自测题九379

自测题九参考答案380

Ⅲ.第九章杂难题与综合例题382

二、阶段试题、知识竞赛试题及其解答387

（一）阶段试题及其解答387

Ⅰ.《微积分》（第一、二章）阶段试卷及其解答387

1.《微积分》（第一、二章）阶段试卷1及其解答387

《微积分》（第一、二章）阶段试卷1387

《微积分》（第一、二章）阶段试卷1（参考答案）388

2.《微积分》（第一、二章）阶段试卷2及其解答390

《微积分》（第一、二章）阶段试卷2390

《微积分》（第一、二章）阶段试卷2（参考答案）391

Ⅱ.《微积分》（第三、四章）阶段试卷及其解答393

1.《微积分》（第三、四章）阶段试卷1及其解答393

《微积分》（第三、四章）阶段试卷1393

《微积分》（第三、四章）阶段试卷1（参考答案）394

《微积分》（第三、四章）阶段试卷2396

《微积分》（第三、四章）阶段试卷2（参考答案）397

Ⅲ.《微积分》（第五、六章）阶段试卷及其解答398

1.《微积分》（第五、六章）阶段试卷1及其解答398

《微积分》（第五、六章）阶段试卷1398

《微积分》（第五、六章）阶段试卷1（参考答案）400

2.《微积分》（第五、六章）阶段试卷2及其解答402

《微积分》（第五、六章）阶段试卷2402

《微积分》（第五、六章）阶段试卷2（参考答案）403

Ⅳ.《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷及其解答404

1.《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷1及其解答404

《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷1404

《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷1（参考答案）406

2.《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷2及其解答408

《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷2408

《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷2（参考答案）409

（二）知识竞赛试题及其解答411

Ⅰ.知识竞赛试题1及其解答411

《微积分》知识竞赛试卷1411

《微积分》知识竞赛试卷1（参考答案：120分）412

Ⅱ.知识竞赛试题2及其解答415

《微积分》知识竞赛试卷2415

《微积分》知识竞赛试卷2（参考答案；120分）416

三、教学研讨419

（一）高等数学教育的人文功效419

（二）数学理论在经济学中一个有效应用的典型例子420

（三）关于教材结构与取材的几点建议421

1.教材应保持逻辑严密的连贯性421

2.非重要的概念和知识点不宜展开深入讨论422

3.重视介绍解题技能、方法，避免过多记忆公式和疑难复杂的运算423

4.提倡用一种方法解决多种问题424

5.关于微分方程内容设置的意见424

（四）注意教学方法424

1.面对“文科生”教学方法更重要424

2.提倡启发教学425

3.勤动笔与勤思考相结合425

（五）微积分教学中的几个理论问题425

1.极限存在性知识点的设置425

2.少用细致分析方法425

3.关于积分理论的几点意见426

4.多值函数的极值427

【附录】数学历史上的三次危机427

1.第一次数学危机427

2.第二次数学危机428

3.第三次数学危机430

4.集论公理系统浅述430

参考文献432