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第0章　准备知识1

0.1　集合、命题、谓词和运算1

0.1.1　集合1

0.1.2　命题与谓词2

0.1.3　集合的表示4

0.1.4　外延性原理与子集合6

0.1.5　运算7

练习0.19

0.2　鸽笼原理12

0.2.1　鸽笼原理基本形式12

0.2.2　鸽笼原理加强形式14

练习0.215

第1章　逻辑代数（上）：命题演算16

1.1　逻辑联结词与命题公式16

1.1.1　逻辑联结词16

1.1.2　命题公式20

1.1.3　语句形式化22

练习1.123

1.2　逻辑等价式和逻辑蕴涵式25

1.2.1　重言式26

1.2.2　逻辑等价式和逻辑蕴涵式26

1.2.3　对偶原理30

1.2.4　应用逻辑31

练习1.233

1.3　范式35

1.3.1　析取范式和合取范式35

1.3.2　主析取范式与主合取范式37

1.3.3　联结词的扩充与归约39

练习1.342

1.4　命题演算消解原理43

练习1.445

1.5　阅读材料：布尔代数46

第2章　逻辑代数（下）：谓词演算50

2.1　谓词演算基本概念50

2.1.1　个体51

2.1.2　谓词51

2.1.3　量词52

2.1.4　谓词公式及语句形式化53

练习2.156

2.2　谓词演算永真式59

2.2.1　谓词公式的语义59

2.2.2　谓词演算永真式61

2.2.3　谓词公式等价变换的几个基本原理64

练习2.265

2.3　谓词演算消解原理68

2.3.1　前束化和消去量词68

2.3.2　谓词演算消解原理70

练习2.372

2.4　阅读材料：形式推理与形式系统［2］73

2.4.1　一个形式系统的例子73

2.4.2 自然推理形式系统ND73

第3章　集合代数78

3.1　集合运算78

3.1.1　集合的并、交、差、补运算78

3.1.2　集合的环和与环积运算82

3.1.3　幂集与广义并、交运算84

练习3.186

3.2　集合的笛卡儿积88

练习3.290

3.3　集合定义的自然数和归纳法证明91

3.3.1　集合定义的自然数91

3.3.2　归纳法证明93

练习3.398

3.4　阅读材料：公理化集合论简介［4］98

第4章　初等数论102

4.1　整除和素数102

4.1.1　整除102

4.1.2　最大公因子105

4.1.3　算术基本定理108

4.1.4　素数的性质109

4.1.5 实数的取整［x］与取另｛x｝112

练习4.1114

4.2　同余115

4.2.1　同余的基本性质115

4.2.2　剩余系117

4.2.3　一次同余方程118

4.2.4　同余式组120

4.2.5　Euler定理和Fetmat小定理120

练习4.2122

4.3　阅读材料：数论在加密技术中的应用123

4.3.1　仿射加密方法124

4.3.2　RSA加密方法126

4.3.3　数字签名128

第5章　计数130

5.1　计数基本原理130

5.1.1　加法原理和乘法原理130

5.1.2　包含排斥原理131

练习5.1134

5.2　排列与组合135

5.2.1　排列的计数135

5.2.2　组合的计数136

练习5.2139

5.3　重集的排列与组合140

5.3.1　重集的排列140

5.3.2　重集的组合143

5.3.3　错置的计数145

练习5.3147

5.4　递归式及其应用148

5.4.1　递归式建模149

5.4.2　递归式求解151

练习5.4159

5.5　阅读材料：母函数160

第6章　关系164

6.1　关系164

6.1.1　关系及二元关系164

6.1.2　关系基本运算168

6.1.3　关系数据库中的关系运算173

6.1.4　关系的基本特性174

6.1.5　关系的特性闭包177

练习6.1180

6.2　等价关系183

6.2.1　等价关系及其等价类183

6.2.2　等价关系与划分185

6.2.3　等价关系的应用186

练习6.2187

6.3　序关系189

6.3.1　序关系和有序集189

6.3.2　全序集与良序集193

6.3.3　有序集的应用195

练习6.3196

6.4　阅读材料：格198

第7章 函数202

7.1　函数及函数的合成202

7.1.1 函数基本概念202

7.1.2　函数的合成206

7.1.3　函数的递归定义207

练习7.1209

7.2　特殊函数类210

7.2.1　单射、满射和双射210

7.2.2　函数的逆213

7.2.3　谓词、集合、函数的统一描述与模糊子集215

练习7.2217

7.3　有限集和无限集219

7.3.1　有限集、可数集与不可数集219

7.3.2　无限集的特性223

练习7.3224

7.4　阅读材料：集合基数与基数比较224

第8章　可计算函数229

8.1　函数概念的拓广229

练习8.1230

8.2　初等函数231

8.2.1　初等函数集231

8.2.2　初等谓词235

练习8.2238

8.3　原始递归函数238

8.3.1　初等函数集的不足238

8.3.2　原始递归式240

8.3.3　原始递归函数集241

练习8.3243

8.4　递归函数244

8.4.1　阿克曼函数及其性质244

8.4.2 μ-递归式246

8.4.3　递归函数集（μ-递归函数集）247

练习8.4249

8.5　阅读材料：图灵机249

8.5.1　图灵机的组成249

8.5.2　图灵可计算函数252

第9章　图与树255

9.1 图256

9.1.1　图的基本概念256

9.1.2　结点的度257

9.1.3　子图、补图及图同构259

9.1.4　图的应用260

练习9.1262

9.2　路径、回路及连通性264

9.2.1　路径、通路与回路264

9.2.2　连通性265

9.2.3　连通度267

练习9.2269

9.3　图的矩阵表示270

9.3.1　邻接矩阵270

9.3.2　路径矩阵与可达性矩阵273

练习9.3274

9.4　树275

9.4.1　树的基本概念275

9.4.2　生成树276

练习9.4280

9.5　阅读材料：图搜索算法281

9.5.1　图搜索算法（A算法）283

9.5.2　启发式图搜索算法（A＊算法）284

第10章　特殊图286

10.1　欧拉图与哈密顿图286

10.1.1　欧拉图及欧拉路径287

10.1.2 哈密顿图及哈密顿通路289

10.1.3　欧拉图与哈密顿图的应用293

练习10.1294

10.2　二分图295

10.2.1　二分图基本概念295

10.2.2　二分图的匹配及其应用297

练习10.2301

10.3　平面图302

10.3.1 平面图基本概念302

10.3.2　欧拉公式和库拉托夫斯基定理304

10.3.3　平面图的应用：着色问题308

练习10.3311

10.4　根树312

10.4.1　根树的概念312

10.4.2　二元树的性质及应用314

练习10.4318

10.5　阅读材料：博弈树与智能博弈319

第11章　代数结构通论323

11.1　代数结构323

11.1.1　代数结构的组成323

11.1.2　代数结构的特殊元素325

11.1.3　子代数328

练习11.1329

11.2　同态和同构331

练习11.2334

11.3　同余关系335

11.3.1 同余关系的意义335

11.3.2　同态与同余关系337

11.3.3　同余关系的应用338

练习11.3340

11.4　阅读材料：正则语言及其代数性质341

第12章　群、环、域346

12.1　半群346

12.1.1　半群及独异点346

12.1.2 自由独异点347

练习12.1349

12.2　群350

12.2.1　群及其基本性质350

12.2.2　群的元素的阶354

12.2.3　子群、陪集和拉格朗日定理355

12.2.4　正规子群和商群358

练习12.2360

12.3　循环群和置换群362

12.3.1　循环群362

12.3.2　置换群363

12.3.3　置换群的应用366

练习12.3370

12.4　环和域371

12.4.1　环371

12.4.2　域375

练习12.4377

12.5　阅读材料：有穷自动机378

12.5.1　有穷自动机378

12.5.2　状态迁移幺半群380

12.5.3　语言同余关系382

参考文献384