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第1章 引言1

1.1 科学计算的任务和特点1

1.1.1 用计算机解决实际问题1

1.1.2 数值计算方法的特点2

1.2 计算机中数的表示4

1.2.1 数字式计算机中数的表示4

1.2.2 计算机的浮点数系5

1.3 误差5

1.3.1 误差来源5

1.3.2 误差的基本知识6

1.3.3 浮点运算和舍入误差8

1.4 条件问题和算法的数值稳定性10

1.4.1 条件问题10

1.4.2 数值稳定性12

第2章 解线性代数方程组的直接法14

2.1 Gauss消去法14

2.1.1 三角形方程组及其解法14

2.1.2 Gauss顺序消去法16

2.1.3 列主元素消去法22

2.1.4 全主元素消去法28

2.2 矩阵的三角分解32

2.2.1 矩阵三角分解的意义和形式32

2.2.2 矩阵的Crout分解33

2.2.3 矩阵的Doolittle分解37

2.2.4 解三对角线方程组的追赶法42

2.2.5 带状对角形线性方程组的列主元消去法45

2.3 正定矩阵的Cholesky分解49

2.3.1 正定矩阵和LDLT分解49

2.3.2 正定矩阵的LLT分解50

2.3.3 正定矩阵的LDLT分解53

2.4 矩阵求逆和行列式计算56

2.4.1 Gauss-Jordan消去法56

2.4.2 用Gauss-Jordan消去法解方程组集59

2.4.3 用Gauss-Jordan消去法求矩阵的逆63

2.4.4 行列式计算65

2.5 向量范数和矩阵范数68

2.5.1 向量范数68

2.5.2 矩阵范数70

2.6 计算解的精确度问题73

2.6.1 右端项误差对解的影响和矩阵的条件数73

2.6.2 系数矩阵误差对解的影响74

2.6.3 计算解的误差估计75

2.6.4 解的迭代改善78

第3章 解线性方程组的迭代法83

3.1 解线性方程组迭代法的一般理论83

3.1.1 向量和矩阵序列及其收敛性84

3.1.2 一般迭代格式的构造84

3.1.3 迭代的收敛问题85

3.2 Jacobi迭代87

3.2.1 迭代格式87

3.2.2 Jacobi迭代的收敛问题91

3.3 Gauss-Seidel迭代93

3.3.1 迭代格式93

3.3.2 Gauss-Seidel迭代的收敛问题96

3.4 松弛迭代96

3.4.1 迭代格式96

3.4.2 迭代的收敛问题99

3.5 共轭斜量法101

3.5.1 线性方程组和函数的极小化问题101

3.5.2 共轭斜量法105

第4章 插值法112

4.1 插值的基本概念112

4.1.1 问题的提出112

4.1.2 插值112

4.1.3 插值函数的存在唯一性113

4.2 多项式插值及其Lagrange形式115

4.2.1 多项式插值115

4.2.2 多项式插值的Lagrange形式116

4.2.3 多项式插值的余项119

4.2.4 逐次线性插值121

4.3 多项式插值的Newton形式127

4.3.1 Newton插值多项式127

4.3.2 差商128

4.3.3 等距Newton插值133

4.4 Hermite插值141

4.4.1 Hermite插值的定义141

4.4.2 Hermite插值多项式的构造142

4.5 三次样条插值146

4.5.1 多项式插值的局限性146

4.5.2 三次样条插值函数和连续性方程147

4.5.3 端点约束条件150

4.5.4 样条插值函数的极性和收敛性153

4.5.5 三次样条函数的矩阵表示155

4.5.6 应用程序157

4.6 双三次样条函数和样条曲面168

4.6.1 双三次样条函数的定义168

4.6.2 双三次样条插值问题169

4.6.3 双三次样条函数在子矩阵上的表示171

4.6.4 双三次样条插值函数的计算过程171

第5章 数据拟合173

5.1 引言173

5.2 线性最小二乘法174

5.2.1 超定方程组和法方程组174

5.2.2 多项式拟合175

5.2.3 多变元线性拟合181

5.2.4 线性拟合的推广184

5.3 正交化方法188

5.3.1 法方程组的条件问题188

5.3.2 Gram-Schmidt方法188

5.3.3 Householder变换193

5.3.4 正交多项式方法199

5.4 矩阵的奇异值分解和极小最小二乘解205

5.4.1 矩阵的奇异值分解206

5.4.2 矩阵奇异值分解的计算方法207

5.4.3 极小最小二乘解210

5.5 B样条曲线214

5.5.1 B样条曲线的数学表示214

5.5.2 三次B样条曲线215

5.5.3 B样条曲线的几何性质217

5.6 Fourier级数和快速Fourier变换218

5.6.1 最佳平方三角函数逼近218

5.6.2 Fourier变换222

5.6.3 快速Fourier变换225

5.6.4 FFT程序231

第6章 数值微分和数值积分238

6.1 数值微分238

6.1.1 用差商近似代替微商238

6.1.2 用插值多项式求数值微商239

6.2 数值积分的基本概念242

6.2.1 研究数值积分的必要性242

6.2.2 数值积分的基本思想243

6.2.3 求积公式的代数精确度244

6.3 Newton-Cotes公式245

6.3.1 Newton-Cotes公式的形式245

6.3.2 Newton-Cotes公式的误差251

6.3.3 Newton-Cotes公式的收敛性和数值稳定性254

6.4 复化公式和区间逐次半分法254

6.4.1 复化公式254

6.4.2 复化公式的误差256

6.4.3 区间逐次半分法和误差的事后估计258

6.4.4 实用程序259

6.5 外推法和Romberg积分262

6.5.1 数值方法中的加速收敛技巧262

6.5.2 Richardson外推法263

6.5.3 Romberg积分法264

6.6 自适应Simpson积分法268

6.6.1 数值积分的自适应问题268

6.6.2 自适应Simpson算法270

6.7 Gauss型求积公式273

6.7.1 Gauss型求积公式的一般形式273

6.7.2 求积公式的余项和数值稳定性276

6.7.3 Gauss-Legendre求积公式278

6.7.4 Gauss-Chebyshev求积公式284

6.7.5 Gauss-Laguerre求积公式287

6.7.6 Gauss-Hermite求积公式291

第7章 矩阵特征值问题296

7.1 矩阵特征值的估计296

7.1.1 圆盘定理296

7.1.2 圆盘定理的应用300

7.1.3 矩阵特征值问题的条件302

7.2 幂法和反幂法305

7.2.1 幂法305

7.2.2 反幂法314

7.2.3 矩阵收缩317

7.3 QR方法325

7.3.1 QR方法及其收敛性326

7.3.2 Hessenberg矩阵及其QR分解328

7.3.3 Hessenberg矩阵的QR算法333

7.3.4 带原点位移的QR算法337

7.3.5 双重步QR算法342

7.4 实对称矩阵的基本性质349

7.4.1 谱分解和极值定理349

7.4.2 特征值的估计和摄动350

7.5 实对称矩阵的幂法和子空间迭代法351

7.5.1 实对称矩阵的幂法和反幂法351

7.5.2 用幂法求实对称矩阵全部特征值357

7.5.3 子空间迭代法362

7.6 Jacobi方法368

7.6.1 实对称矩阵和旋转相似变换368

7.6.2 Jacobi方法370

7.6.3 Jacobi方法的收敛性375

7.7 实对称矩阵的Givens-Householder方法376

7.7.1 实对称矩阵的三对角线化376

7.7.2 计算特征值的二分法379

7.7.3 特征向量的计算382

7.7.4 Givens-Householder方法程序382

7.7.5 实对称三对角矩阵次对角元素有零情形388

7.8 对称QR方法389

7.8.1 对称三对角化的Householder算法389

7.8.2 对称三对角线矩阵的QR算法391

7.8.3 隐位移QR算法393

7.8.4 隐位移对称QR算法方法程序395

第8章 非线性方程数值解法399

8.1 实根的搜索399

8.1.1 逐步搜索法399

8.1.2 区间二分法400

8.2 迭代法的一般理论403

8.2.1 Picard迭代和压缩映射404

8.2.2 Picard迭代的误差估计和收敛阶407

8.2.3 Picard迭代的加速收敛408

8.3 Newton迭代411

8.3.1 Newton法411

8.3.2 Newton法的变形415

8.3.3 Newton法的重根处理416

8.3.4 用反函数构造单点迭代函数420

8.4 多点迭代法421

8.4.1 插值和多点迭代法的构造421

8.4.2 弦位法423

8.4.3 特殊的弦位法426

8.4.4 抛物线法（Müller公式）430

8.4.5 用导数估计建立多点迭代公式435

8.5 用公式求多项式方程的根438

8.5.1 实系数二次方程的求根438

8.5.2 实系数三次方程的求根公式439

8.5.3 实系数四次方程的求根441

8.5.4 多项式方程公式求根程序442

8.6 多项式方程求根的Newton法447

8.6.1 多项式求值的秦九韶算法447

8.6.2 Newton法448

8.6.3 Newton-Maehly方法448

8.6.4 Newton-Maehly方法程序449

8.7 多项式方程求根的Bernoulli方法451

8.7.1 Bernoulli方法的基本思想451

8.7.2 Bernoulli方法的实现453

8.7.3 Bernoulli方法的改进454

8.7.4 改进的Bernoulli方法程序456

8.8 多项式方程求根的林士谔-Bairstow方法459

8.8.1 林士谔-Bairstow算法459

8.8.2 林士谔-Bairstow方法的二次收敛性462

8.8.3 p,q的初值选取463

8.8.4 林士谔-Bairstow方法程序463

第9章 非线性方程组的迭代解法467

9.1 预备知识467

9.1.1 非线性方程组数值解法概述467

9.1.2 多元函数的可微性468

9.1.3 多元向量函数的可微性469

9.1.4 多元函数和多元向量函数的二阶导数470

9.2 简单迭代法471

9.2.1 简单迭代的构造471

9.2.2 简单迭代的收敛性472

9.3 解非线性方程组的Newton法474

9.3.1 Newton迭代法474

9.3.2 带松弛因子的Newton迭代法479

9.3.3 带阻尼因子的Newton迭代法483

9.3.4 修正的Newton迭代法484

9.4 割线法488

9.4.1 多元向量函数线性插值488

9.4.2 割线法的一般讨论489

9.4.3 n+1点割线法491

9.4.4 两点割线法492

9.4.5 Steffensen方法496

9.5 拟Newton法498

9.5.1 拟Newton法的一般讨论499

9.5.2 Broyden方法500

9.5.3 秩2算法505

9.5.4 D-F-P秩2算法506

9.5.5 B-F-S秩2算法509

9.6 最速下降法和共轭斜量法512

9.6.1 最速下降法513

9.6.2 共轭斜量法517

第10章 常微分方程初值问题数值解法522

10.1 Euler方法522

10.1.1 Euler方法的导出及其几何意义522

10.1.2 误差分析524

10.1.3 Euler方法的变形526

10.2 Runge-Kutta方法530

10.2.1 Taylor级数和Runge-Kutta方法530

10.2.2 显式Runge-Kutta方法532

10.2.3 Gill公式方法536

10.2.4 隐式Runge-Kutta方法539

10.2.5 误差估计和变步长Runge-Kutta方法546

10.3 线性多步法551

10.3.1 Adams显式公式552

10.3.2 Adams隐式公式553

10.3.3 出发值的计算555

10.3.4 隐式公式的迭代解法556

10.4 预测—校正方法559

10.4.1 预测—校正方法的基本形式560

10.4.2 Milne方法565

10.4.3 Hamming方法566

10.5 相容性、收敛性和稳定性569

10.5.1 单步法的相容性和收敛性569

10.5.2 线性多步法的相容性和收敛性571

10.5.3 渐近稳定性572

10.5.4 单步法的绝对稳定性问题573

10.5.5 线性多步法的绝对稳定性576

10.6 常微分方程组初值问题580

10.6.1 显式Runge-Kutta方法581

10.6.2 二级四阶隐式Runge-Kutta公式584

10.6.3 线性多步法589

10.7 刚性方程组594

10.7.1 刚性方程组的基本概念594

10.7.2 变步长三级六阶隐式Runge-Kutta方法595

10.7.3 Gear方法604

10.8 高阶常微分方程初值问题606

10.8.1 化高阶常微分方程为一阶常微分方程组606

10.8.2 用于高阶常微分方程的Runge-Kutta程序606

10.8.3 三级六阶隐式Runge-Kutta程序608

第11章 边值问题数值解法615

11.1 常微分方程边值问题615

11.1.1 边值问题和边界条件615

11.1.2 线性方程边值问题616

11.2 解边值问题的差分方法617

11.2.1 线性方程的差分方法617

11.2.2 解线性方程的差分方法程序619

11.2.3 非线性方程的差分方法622

11.2.4 Newton迭代法程序625

11.3 打靶法628

11.3.1 线性方程边值问题分析628

11.3.2 线性方程边值问题打靶法629

11.3.3 二阶线性方程打靶程序631

11.3.4 非线性方程边值问题打靶法635

11.3.5 非线性方程边值问题的打靶法程序637

11.4 边值问题的样条函数解法641

11.4.1 三次样条函数及其导数641

11.4.2 样条函数配点法642

11.4.3 线性方程样条函数配点法642

11.4.4 线性方程样条函数配点法程序644

11.5 特征值问题648

11.5.1 Sturm-Liouville问题648

11.5.2 特征值问题的差分方法649

11.5.3 Sturm-Liouville方程特征值问题程序652

附录A C语言屏幕绘图658

A.1 图形系统初始化658

A.2 标号、折线和曲线绘制661

A.3 消隐曲面绘制667

附录B 程序索引672

参考文献677