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第1章 复数1

1 加法与乘积1

2 基本代数性质2

3 其他性质4

4 模6

5 共轭复数9

6 指数形式11

7 指数形式的乘积与商13

8 复数的根17

9 举例18

10 复平面中的区域21

第2章 解析函数25

11 单复变量的函数25

12 映射26

13 指数函数映射30

14 极限32

15 极限定理34

16 涉及到无穷远点的极限36

17 连续性38

18 导数41

19 微分公式43

20 柯西-黎曼方程46

21 可微的充分条件48

22 极坐标50

23 解析函数53

24 举例55

25 调和函数57

26 唯一确定的解析函数61

27 反射原理62

第3章 初等函数65

28 指数函数65

29 对数函数67

30 对数函数的导数和分支69

31 一些关于对数的等式71

32 复指数73

33 三角函数75

34 双曲函数79

35 反三角函数和反双曲函数81

第4章 积分85

36 函数w（t）的导数85

37 函数w（t）的定积分86

38 围道89

39 围道积分93

40 举例95

41 围道积分模的上界99

42 原函数101

43 举例103

44 柯西-古萨定理107

45 柯西-古萨定理的证明108

46 单连通区域和多连通区域111

47 柯西积分公式117

48 解析函数的导数118

49 刘维尔定理与代数基本定理123

50 最大模原理125

第5章 级数131

51 收敛序列131

52 收敛级数133

53 泰勒级数136

54 举例138

55 洛朗级数142

56 举例146

57 幂级数的绝对收敛和一致收敛150

58 幂级数和的连续性152

59 幂级数的积分和微分154

60 级数表示的唯一性157

61 幂级数的乘法和除法161

62 留数165

第6章 留数和极点165

63 柯西留数定理168

64 单个留数的应用169

65 孤立奇点的三种类型172

66 极点的留数174

67 举例175

68 解析函数的零点178

69 零点和极点180

70 解析函数f在孤立奇点附近的性质184

第7章 留数的应用187

71 广义积分的计算187

72 举例189

73 傅里叶分析中的广义积分193

74 若尔当引理195

75 不规则路径199

76 绕支点的不规则路径201

77 沿支割线的积分204

78 含有正弦和余弦的定积分207

79 幅角原理210

80 儒歇定理212

81 逆拉普拉斯变换215

82 举例217

第8章 初等函数的映射225

83 线性映射225

84 映射w＝1/z226

85 映射1/z228

86 分式线性映射231

87 一种隐含形式233

88 上半平面的映射235

89 映射w＝sinz240

90 z2和z1/2的分支定义的映射244

91 多项式的平方根249

92 黎曼曲面253

93 相关函数的黎曼曲面256

94 解析函数的保形性259

第9章 保形映射259

95 伸缩因子261

96 局部逆262

97 共轭调和265

98 调和函数的映射266

99 边界条件的映射268

第10章 保形映射的应用273

100 稳定温度273

101 半平面上的稳定温度274

102 一个相关问题276

103 象限中的温度277

104 静电位281

105 圆柱空间中的位势282

106 二维的流体流动285

107 流函数287

108 绕拐角和柱面的流动289

109 将实轴映射为多边形295

第11章 施瓦兹-克里斯托费映射295

110 施瓦兹-克里斯托费映射296

111 三角形和矩形299

112 退化的多边形302

113 通过裂缝的流体流动305

114 在有迂回的通道内的流动307

115 导电金属板边缘的电势309

116 泊松积分公式313

第12章 泊松型的积分公式313

117 圆盘上的狄利克雷问题315

118 相关的边值问题317

119 施瓦兹积分公式321

120 半平面的狄利克雷问题322

121 诺伊曼问题325

附录A 参考文献329

附录B 区域映射图清单333

索引341