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第1章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 知识要点1

1.1.2 典型例题7

1.2 极限概念 极限运算10

1.2.1 知识要点10

1.2.2 典型例题14

1.3 无穷小的比较 函数的连续性18

1.3.1 知识要点18

1.3.2 典型例题21

自测题126

数学史话28

1．极限思想——重要性及其发展阶段28

2．刘徽与“割圆术”30

第2章 导数与微分31

2.1 导数的概念与运算31

2.1.1 知识要点31

2.1.2 典型例题32

2.2 高阶导数与微分40

2.2.1 知识要点41

2.2.2 典型例题42

自测题248

数学应用范例50

1．相关变化率问题50

2．微分在近似计算中的应用50

3．导数在经济学上的应用51

第3章 微分中值定理与导数的应用53

3.1 微分中值定理 洛必达法则53

3.1.1 知识要点53

3.1.2 典型例题55

3.2 导数的应用61

3.2.1 知识要点61

3.2.2 典型例题63

自测题370

数学家简介72

1．罗尔72

2．拉格朗日73

3．柯西74

4．泰勒75

5．洛必达75

第4章 不定积分77

4.1 不定积分的概念与性质77

4.1.1 知识要点77

4.1.2 典型例题78

4.2 不定积分的换元积分法与分部积分法82

4.2.1 知识要点82

4.2.2 典型例题84

自测题493

第5章 定积分96

5.1 定积分的概念、性质和微积分基本公式96

5.1.1 知识要点96

5.1.2 典型例题99

5.2 定积分的换元法、分部积分法和反常积分107

5.2.1 知识要点107

5.2.2 典型例题109

自测题5116

数学应用范例120

1．已知变化率求变化量120

2．在经济学中的应用120

3．润滑油的存储量（反常积分的应用实例）121

数学家简介121

1．牛顿121

2．莱布尼茨123

数学史话 牛顿和莱布尼茨创立了微积分124

第6章 定积分应用126

6.1　知识要点126

6.2　典型例题130

自测题6141

数学应用范例 连续变量作用和问题145

数学史话 穷竭法求面积146

第7章 常微分方程148

7.1 一阶微分方程148

7.1.1 知识要点148

7.1.2 典型例题150

7.2 高阶微分方程 二阶线性微分方程156

7.2.1 知识要点156

7.2.2 典型例题158

自测题7169

数学应用范例 微分方程模型初步170

数学史话 钟摆、悬链线和伯努利兄弟176

第8章 向量代数与空间解析几何180

8.1 向量代数180

8.1.1 知识要点180

8.1.2 典型例题181

8.2 曲线与曲面183

8.2.1 知识要点183

8.2.2 典型例题186

8.3 平面与直线189

8.3.1 知识要点189

8.3.2 典型例题190

自测题8195

数学家简介 笛卡儿196

第9章 多元函数微分法及其应用198

9.1 多元函数微分法的概念及偏导数、全微分198

9.1.1 知识要点198

9.1.2 典型例题200

9.2 多元复合函数及隐函数的微分204

9.2.1 知识要点204

9.2.2 典型例题205

9.3 多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值210

9.3.1 知识要点210

9.3.2 典型例题212

自测题9218

数学应用范例 如何测定太湖的最深处220

第10章 重积分222

10.1 二重积分222

10.1.1 知识要点222

10.1.2 典型例题225

10.2 三重积分233

10.2.1 知识要点233

10.2.2 典型例题235

10.3 重积分的应用240

10.3.1 知识要点240

10.3.2 典型例题242

自测题10244

第11章 曲线积分与曲面积分248

11.1 曲线积分248

11.1.1 知识要点248

11.1.2 典型例题250

11.2 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件255

11.2.1 知识要点255

11.2.2 典型例题256

11.3 曲面积分260

11.3.1 知识要点260

11.3.2 典型例题262

自测题11268

数学应用范例271

1．小岛在涨潮与落潮之间的面积变化271

2．通信卫星的覆盖面积272

数学家简介 高斯273

第12章 无穷级数275

12.1 常数项级数275

12.1.1 知识要点275

12.1.2 典型例题277

12.2 幂级数282

12.2.1 知识要点282

12.2.2 典型例题283

12.3 函数展开成幂级数287

12.3.1 知识要点287

12.3.2 典型例题288

自测题12292

数学应用范例295

1．阿基里斯问题295

2．利用级数估计π的值295

3．微分方程的级数解296

4．表示特殊函数296

第13章 用Mathematica研究高等数学问题298

13.1 入门298

13.1.1 启动和退出298

13.1.2 Mathematica 7.0的工作界面299

13.1.3 Mathematica 7.0的输入、输出和运行299

13.1.4 数值类型和系统中的数学常数300

13.1.5 内建函数（built-in function）302

13.1.6 变量304

13.1.7 表达式305

13.1.8 7.0以前版本中调用软件包307

13.1.9 Mathematica的联机帮助系统307

13.1.10 给初学者的提示310

13.2 函数　二维图形　极限311

13.2.1 自定义函数311

13.2.2 二维图形313

13.2.3 极限317

13.3 一元函数微分学318

13.3.1 求导数318

13.3.2 求函数的极小值319

13.4 一元函数积分学323

13.4.1 积分的计算323

13.4.2 反常积分的计算323

13.4.3 数值积分324

13.5 三维图形324

13.5.1 三维作图命令324

13.5.2 三维作图范例327

13.6 多元函数微积分运算330

13.6.1 求偏导数330

13.6.2 求全微分331

13.6.3 重积分332

13.7 无穷级数332

13.7.1 求无穷和332

13.7.2 把函数展开为幂级数333

13.7.3 去掉余项333

13.8 常微分方程333

13.8.1 求解微分方程通解334

13.8.2 求解微分方程初值问题334

13.8.3 求解微分方程组334

自测题答案与提示335