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第1章 基本知识1

1.1 数值方法1

1.2 误差1

1.2.1 误差的来源1

1.2.2 绝对误差与相对误差2

1.2.3 四舍五入3

1.2.4 有效数字4

1.3 计算机浮点数及舍入误差5

1.3.1 计算机浮点数系统5

1.3.2 用计算机浮点数表示实数7

1.3.3 浮点数的舍入误差9

1.3.4 浮点数算术运算的舍入误差10

1.4 向量范数与矩阵范数11

1.4.1 向量范数和向量序列极限12

1.4.2 矩阵范数和矩阵序列极限16

1.4.3 从属向量范数的矩阵范数23

1.5 线性方程组的性态，算法的稳定性29

1.5.1 线性方程组的性态29

1.5.2 算法的稳定性32

习题33

第2章 求解线性方程组的数值方法35

2.1 直接法35

2.1.1 Gauss 消去法与选主元 Gauss 消去法36

2.1.2 矩阵三角分解46

2.1.3 有关定理52

2.1.4 求解正定方程组的 Cholesky 方法60

2.1.5 求解三对角方程组的追赶法64

2.2 迭代法68

2.2.1 逐次逼近法69

2.2.2 Jacobi 迭代法74

2.2.3 Gauss-Seidel 迭代法77

2.2.4 有关基本概念81

2.2.5 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性86

2.2.6 超松弛迭代法91

2.3.1 共轭斜量法的基本思想95

2.3 共轭斜量法95

2.3.2 A-共轭向量组和向量组的 A-共轭化98

2.3.3 共轭斜量法100

2.3.4 求解非奇异方程组106

习题107

第3章 非线性方程(组)的数值解法113

3.1 求方程实根的对分区间法114

3.2 单个方程的迭代法120

3.2.1 迭代法的一般原理120

3.2.2 迭代法的几何意义121

3.2.3 收敛性分析122

3.2.4 加速收敛技巧128

3.3.1 Newton 法及其收敛性分析130

3.3 单个方程的 Newton 法130

3.3.2 Newton 法的其他变形136

3.4 多项式求根142

3.4.1 Newton 法142

3.4.2 Bairstow 方法144

3.4.3 多项式求根的敏感性145

3.5 解非线性方程组的数值方法148

3.5.1 简单迭代法149

3.5.2 Newton 法及其变形152

习题159

4.1 引言164

第4章 插值法164

4.2 代数插值问题解的存在惟一性166

4.3 Lagrange 插值167

4.4 Newton 插值与差商、差分171

4.4.1 Newton 插值公式171

4.4.2 差商表和差商的性质174

4.4.3 等距情形的 Newton 插值公式与差分178

4.5 NeVill 插值188

4.6 Hermite 插值191

4.6.1 Hermite 插值问题解的存在惟一性191

4.6.2 Hermite 插值的误差估计193

4.7 反插值195

4.8 样条函数插值200

4.8.1 样条函数200

4.8.2 三次样条函数插值问题的提法202

4.8.3 三次样条函数插值问题解的存在惟一性203

4.8.4 三次样条函数插值问题解的构造204

4.8.5 三次样条函数插值的误差估计208

4.8.6 三次 B-样条函数插值210

习题217

第5章 函数逼近221

5.1 引言221

5.2.1 Chebyshev 多项式及其性质223

5.2 Chebyshev 多项式及其应用223

5.2.2 Chebyshev 多项式的应用226

5.3 C[a,b]空间中的最佳一致逼近231

5.4 内积空间中的最佳平方逼近239

5.5 有理函数逼近249

5.5.1 连分式与有理函数249

5.5.2 Padé 逼近251

5.6 有限 Fourier 分析255

5.6.1 周期函数的最佳平方逼近255

5.6.2 离散 Fourier 变换(DFT)256

5.6.3 快速 Fourier 变换(FFT)261

5.7 小波变换268

5.7.1 Haar 函数系269

5.7.2 小波变换272

习题274

第6章 曲线拟合276

6.1 曲线拟合问题276

6.1.1 一个简单的曲线拟合例子276

6.1.2 曲线拟合问题278

6.2 线性拟合问题280

6.2.1 ‖·‖2意义下的线性拟合280

6.2.2 ‖·‖1和‖·‖∞意义下的线性拟合283

6.3 线性最小二乘问题285

6.3.1 正交性的有关性质286

6.3.2 矩阵的 QR 分解288

6.3.3 Householder 矩阵与矩阵的正交三角化290

6.3.4 最小二乘解的存在惟一性301

6.3.5 用正则方程组求最小二乘解303

6.3.6 用 QR 分解求最小二乘解308

6.4 奇异值分解与广义逆矩阵310

6.4.1 奇异值分解310

6.4.2 广义逆矩阵313

6.4.3 用奇异值分解求最小二乘解316

习题318

7.1 代数精确度321

第7章 数值积分和数值微分321

7.2 插值型求积公式324

7.2.1 Newton-Cotes 求积公式324

7.2.2 复化型求积公式和样条求积公式331

7.2.3 数值积分中的一种误差估计方法340

7.3 Romberg 积分方法342

7.3.1 Richardson 外推法342

7.3.2 Romberg 求积方法346

7.4 自适应的积分方法351

7.5 Gauss 型求积公式355

7.5.1 引言355

7.5.2 正交多项式及其性质357

7.5.3 Gauss 型求积公式362

7.5.4 Gauss 型求积公式的构造与应用365

7.6 奇异积分的数值方法371

7.6.1 振荡函数的积分371

7.6.2 广义积分的计算375

7.7 数值微分381

习题388

第8章 常微分方程的数值方法391

8.1 初值问题的数值方法391

8.1.1 基本概念391

8.1.2 单步法395

8.1.3 单步法的收敛性和稳定性416

8.1.4 线性多步法425

8.1.5 线性多步法的收敛性和稳定性442

8.1.6 一阶方程组的数值方法447

8.2 边值问题的数值方法450

8.2.1 基本概念450

8.2.2 打靶法451

8.2.3 有限差分法463

习题472

第9章 矩阵特征值问题的数值方法477

9.1 特征值与特征向量477

9.2 Hermite 矩阵特征值问题479

9.2.1 Hermite 矩阵的有关性质480

9.2.2 极值定理482

9.2.3 Hermite 矩阵特征值问题的性态484

9.3 Jacobi 方法486

9.3.1 平面旋转矩阵与相似约化486

9.3.2 经典的 Jacobi 方法488

9.3.3 实用的 Jacobi 方法491

9.3.4 用 Jacobi 方法计算特征向量493

9.4 对分法493

9.4.1 相似约化为实对称三对角矩阵494

9.4.2 Sturm 序列的性质498

9.4.3 同号数和它的应用502

9.4.4 求 Hermite 矩阵特征值的对分法505

9.5.1 求按模最大特征值和特征向量的乘幂法508

9.5 乘幂法508

9.5.2 收缩方法512

9.6 反幂法515

9.6.1 求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法516

9.6.2 求近似特征值的特征向量的反幂法517

9.7 QR 方法519

9.7.1 两个基本定理519

9.7.2 相似约化为上 Hessenberg 矩阵520

9.7.3 QR 算法522

9.7.4 带原点位移的 QR 算法531

习题533

10.1.1 模拟退火算法的基本原理538

第10章 模拟退火算法和遗传算法538

10.1 模拟退火算法538

10.1.2 组合优化540

10.1.3 模拟退火算法的计算步骤及收敛性542

10.1.4 模拟退火算法实现的技术问题545

10.2 遗传算法553

10.2.1 遗传算法的基本原理和特点553

10.2.2 遗传算法实现的技术问题557

10.2.3 模式理论566

习题573

参考文献575