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偏微分方程与计算机介绍1

1有关偏微分方程分类的注记1

2方程组和单个方程7

3数字计算系统的性质8

3．1台式计算8

3．2穿孔卡片计算机10

3．3自动数字计算机10

3．4偏微分方程提出的要求13

1．二个自变量的双曲型方程16

4方程utt-uxx=0的有限差分近似16

4．1 utt-uxx= 0的最简单初值问题的解16

4．2一个近似的差分方程17

4．3λ＜1时差分方程的显式解20

4．4用有限Fourier级数表示差分方程的解25

4．5向微分问题的解的收敛性26

4．6稳定性28

5稳定性概念的进一步说明31

5．1定义与简单的例子31

5．2对波动方程的应用38

6 双曲型微分方程组及其特征线41

6．1正规形式41

6．2例44

6．3 n=2时的典型微分方程组46

6．4关于初值问题的注48

7拟线性双曲型方程组的有限差分方法53

7．1方法的叙述53

7．2证明差分近似收敛性的一个一般方法58

7．3双曲型组的差分格式的收敛性62

7．4 在曲线网内的差分66

7．5舍入误差68

8 沿特征线的积分法69

8．1 Massau方法69

8．2二阶的拟线性方程71

8．3对于n个因变数的另一积分方法72

9用Adams方法的积分法74

10激波78

10．1激波的概念78

10．2含有激波的问题的数值解80

10．3用模拟的粘性项来计算激波波阵面84

10．4粘滞流的真实方程的积分法89

10．5 Lax的差分方法92

2．抛物型方程95

11最简单的热流动问题95

11．1绪言95

11．2初值问题的解96

12最简单的有限差分近似99

12．1稳定性条件99

12．2收敛性与离散化误差103

13在有限区间内的线性问题107

13．1微分问题107

13．2一个有限差分近似108

13．3一个隐式方法110

13．4隐式差分方程的解112

13．5隐式方法的收敛性114

14更一般的二个变数的线性抛物型问题：显式方法117

14．1显式的形式差分近似117

14．2用迭加法解非齐次楼性差分问题118

14．3正型差分式的有界性与稳定性121

14．4 John的有界性条件124

15线性问题的其他显式与隐式方法130

15．1对隐式方法的一个更一般的处理130

15．2用二条以上格线的显式方法136

15．3高阶的问题143

16收敛性的其他定义.Lax与Richtmyer的理论146

16．1关于泛函分析的注记146

16．2在Lax与Richtmyer意义下的收敛性与稳定性147

17非线性问题150

17．1半性方程150

17．2其他抛物型问题的例子152

3．椭圆型方程160

18含有椭圆型偏微分方程的一些数值问题160

18．1一般的Laplace边值问题161

18．2排水问题162

18．3石油流动问题164

18．4应力问题167

18．5边界层问题168

18．6薄膜的特征值问题169

18．7简单的核反应堆问题170

18．8双调和特征值问题172

18．9 Plateau问题172

18．10波动方程的特征值问题173

19从椭圆型偏微分方程论中选取的结果173

19．1变分公式174

19．2某些特征值问题的变分公式180

19．3自伴性182

19．4交接面条件186

19．5最大模原理190

20椭圆型差分方程问题的形成191

20．1离散化及由此产生的问题191

20．2直线法194

20．3要离散化的问题的类型195

20．4不规则网格195

20．5建立差分方程的变分方法199

20．6正方形网格：导数的逼近202

20．7正方形网格：L （u）和Δu的逼近208

20．8应用变分方法于核扩散方程215

20．9 Dirichlet边值条件的处理218

20．10法向导数边值条件222

20．11奇点和自由边界224

21解椭圆型差分方程的古典理论225

21．1差分方程作为矩阵方程225

21．2消去法229

21．3迭代法235

21．4同时位移法；斜量法242

21．5 Richardson方法249

21．6逐个位移法259

21．7 Gauss-Southwell松弛266

22显式和隐式超松弛法268

22．1逐个超松弛法的Young-Frankel理论268

22．2没有性质（A）的超松弛287

22．3隐式方法：线超松弛295

22．4隐式交替方向法3

22．5正方形区域收敛速度的总结313

23离散化和舍入误差314

23．1 Gerschgorin方法314

23．2一个带有Stieltjes核的积分方程320

23．3积分方程的解的一个估计327

23．4离散化误差的估计329

23．5关于线性Dirichlet问题的离散化误差的某些进一步结果摘要340

23．6离散的Dirichlet问题的Green函数348

23．7关于Neumann问题和第三边值问题的离散化误差353

23．8解Dirichlet差分问题中的舍入误差354

23．9舍入误差的概率估计361

24薄膜的特征值问题365

24．1引言365

24．2用差分方法得到的上界367

24．3标准L形薄膜371

24．4用差分方程得到的下界：Weinberger方法373

24．5用差分方程得到的渐近下界377

24．6定理24．7的证明382

24．7用L形薄膜的试验391

24．8有限特征值问题的数值解法393

25在自动数字计算机上解椭圆型偏差分方程398

25．1在数字计算机上得到方程398

25．2当C为曲线时得到差分方程402

25．3一个求积的服务性程序的计划405

25．4等级网格的使用406

25．5逐个超松弛：ω的估计410

25．6逐个超松弛：需要的时间416

25．7解差分方程的其他方法418

25．8在计算机上解特征值问题419

25．9在计算机上解Neumann问题420

4．含多于两个自变量的初值问题421

26波动方程421

26．1微分方程421

26．2最简单的差分近似424

27多维情形的特征426

28一个气象预报问题429

28．1直接从原始方程组预报431

28．2预报方法的修改432

28．3一维模型434

28．4二维模型436

28．5“逆风”差分方程442

28．6三个空间维445

29关于差分方程和微分方程的Fourier方法的一般讨论445

29．1问题445

29．2用Fourier级数求显式解449

29．3 U（x，t）向u （x，t）的收敛性451

29．4稳定性454

29．5怎样检验稳定性和收敛性455

30 Peaceman-Rachford方法458

30．1一般的描述458

30．2对二维热流方程的应用459

参考文献461

索引479