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第一章 函数与极限1

1.1函数1

1.1.1函数的概念1

1.1.2函数的性质3

1.1.3基本初等函数4

1.1.4复合函数6

1.1.5初等函数6

1.2函数的极限7

1.2.1当x→∞时函数f（x）的极限7

1.2.2当x→x0时函数f（x）的极限9

1.3无穷小与无穷大10

1.3.1无穷小10

1.3.2无穷大11

1.3.3无穷大与无穷小的关系11

1.3.4无穷小的性质11

1.4极限的四则运算12

1.5两个重要极限16

1.5.1第一个重要极限limx→0sinx/x=116

1.5.2第二个重要极限limx→∞（1+1/x）x=e17

1.5.3无穷小量阶的比较18

1.6函数的连续性20

1.6.1函数在点x0处的连续性20

1.6.2函数y=f（x）在区间［a，b］上连续22

1.6.3闭区间上连续函数的性质24

1.7Mathematica26

1.7.1用Mathematica进行函数运算26

1.7.2用Mathematica求极限27

复习题一28

第二章 导数与微分31

2.1导数与微分的概念31

2.1.1导数的概念31

2.1.2微分的概念35

2.1.3函数的可导性与连续性的关系36

2.2直接求导法38

2.3复合函数求导法40

2.4隐函数的求导法41

2.4.1隐函数的概念41

2.4.2隐函数的求导41

2.5对数求导法43

2.6高阶导数求法44

2.7微分的求法46

2.7.1微分的运算46

2.7.2隐函数的微分法48

2.7.3参数方程求导法48

2.8微分在近似计算中的应用49

2.8.1利用微分近似代替函数增量49

2.8.2利用微分计算函数的近似值50

2.9用Mathematica进行求导运算51

复习题二52

第三章 积分54

3.1定积分的概念与性质54

3.1.1两个实例54

3.1.2定积分的定义56

3.1.3定积分的几何意义57

3.1.4定积分的性质58

3.2原函数与不定积分、牛顿—莱布尼茨公式60

3.2.1原函数与不定积分60

3.2.2基本积分公式61

3.2.3不定积分的性质62

3.2.4牛顿—莱布尼茨公式62

3.3直接积分法64

3.4第一类换元法66

3.5第二类换元法69

3.6分部积分法73

3.7积分表的使用76

3.8定积分的近似计算77

3.8.1梯形法77

3.8.2抛物线法78

3.9广义积分80

3.9.1无限区间上的广义积分80

3.9.2无界函数的广义积分81

3.10用Mathematica求一元函数的积分83

复习题三84

第四章 微积分的基本应用87

4.1微分中值定理、洛必达法则87

4.1.1微分中值定理87

4.1.2洛必达法则89

4.2函数单调性的判定及极值的求法91

4.2.1函数的单调性91

4.2.2函数的极值93

4.3函数最值的求法95

4.4曲线的凹向和渐近线96

4.4.1曲线的凹向96

4.4.2曲线的渐近线98

4.5函数图象的描绘99

4.6弧微分、曲率100

4.6.1弧微分100

4.6.2曲率101

4.7定积分的几何应用103

4.7.1微元法103

4.7.2平面图形的面积104

4.7.3立体的体积106

4.8定积分的其他应用简介108

4.8.1定积分的物理应用108

4.8.2定积分的经济应用举例110

4.8.3定积分在工程上的应用举例111

4.9用Mathematica做导数应用题112

复习题四114

第五章 级数116

5.1数项级数及其敛散性116

5.1.1无穷级数的概念116

5.1.2数项级数117

5.1.3数项级数的性质119

5.1.4级数收敛的必要条件120

5.2正项级数及其敛散性120

5.2.1正项级数的概念120

5.2.2比较判别法的极限形式121

5.2.3比值判别法和根式判别法122

5.3.交错级数，绝对收敛和条件收敛124

5.3.1交错级数124

5.3.2绝对收敛和条件收敛125

5.4幂级数127

5.4.1函数项级数的概念127

5.4.2幂级数及其收敛区域128

5.4.3幂级数的求法129

5.4.4幂级数的运算130

5.5函数的幂级数展开和应用132

5.5.1泰勒级数132

5.5.2函数展开成泰勒级数134

5.5.3幂级数的应用138

5.6用Mathematica做级数运算143

复习题五144

第六章 微分方程146

6.1微分方程的基本概念146

6.1.1两个实例146

6.1.2微分方程的基本概念147

6.2可分离变量的一阶微分方程150

6.3一阶齐次微分方程153

6.4一阶线性微分方程156

6.5一阶线性非齐次微分方程160

6.6可降阶的高阶微分方程165

6.6.1y（n）=f（x）型的微分方程165

6.6.2y″=f（x，y′）型的微分方程166

6.6.3y″=f（y，y′）型的微分方程168

6.7用Mathematica解微分方程169

复习题六170

第七章 向量与空间解析几何173

7.1空间直角坐标系173

7.1.1空间直角坐标系173

7.1.2向量的基本概念174

7.1.3向量的线性运算175

7.1.4向量的坐标表示177

7.2向量的点积，向量的叉积182

7.2.1两向量的点积182

7.2.2两向量的叉积184

7.3平面方程187

7.3.1平面的点法式方程187

7.3.2平面的一般式方程188

7.3.3平面的截距式方程189

7.3.4点到平面的距离190

7.3.5两平面的夹角191

7.4空间直线的方程193

7.4.1空间直线的方程193

7.4.2空间两直线的位置关系195

7.4.3空间直线与平面的位置关系196

7.5空间曲面和曲线199

7.5.1曲面方程的概念199

7.5.2母线平行于坐标轴的柱面200

7.5.3旋转曲面201

7.5.4二次曲面201

7.5.5空间曲线方程204

7.5.6空间曲线在坐标面上的投影205

复习题七207

第八章 多元函数微积分210

8.1多元函数微分学210

8.1.1多元函数的概念210

8.1.2偏导数212

8.1.3全微分214

8.1.4多元复合函数微分法216

8.1.5多元函数极值218

8.2多元函数积分学223

8.2.1二重积分的概念与性质223

8.2.2二重积分的计算225

8.2.3二重积分的应用231

8.3用Mathematica求偏导数，多元函数的极值与多重积分234

复习题八236

附录 积分表238

主要参考文献247