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绪论1

第一部分　基础3

第1章　数学基础3

1.1　集合论基础3

1.2　函数和极限6

1.3　测度和质量分布10

1.4　有关概率论的注记16

1.5　注记和参考文献23

第2章　豪斯多夫测度和维数26

2.1　豪斯多夫测度26

2.2　豪斯多夫维数29

2.3　豪斯多夫维数的计算——简单的例子32

2.4　豪斯多夫维数的等价定义33

2.5　维数的精细定义34

2.6　注记和参考文献35

第3章　维数的其他定义37

3.1　计盒维数39

3.2　计盒维数的性质与问题44

3.3　修改的计盒维数46

3.4　填充测度与维数47

3.5　维数的一些其他定义49

3.6　注记和参考文献52

第4章　计算维数的技巧55

4.1　基本方法55

4.2　有限测度子集63

4.3　位势理论方法64

4.4　傅里叶变换法67

4.5　注记和参考文献68

第5章　分形的局部结构70

5.1　密度70

5.2　1集的结构74

5.3　s集的切线78

5.4　注记和参考文献82

第6章　分形的射影83

6.1　任意集的射影83

6.2　整数维s集的射影86

6.3　整数维任意集的射影87

6.4　注记和参考文献89

第7章　分形的乘积91

7.1　乘积公式91

7.2　注记和参考文献98

第8章　分形的交集99

8.1　分形的交集公式99

8.2　大交集102

8.3　注记和参考文献108

第二部分 应用与实例第9章　迭代函数系——自相似集与自仿射集113

9.1　迭代函数系113

9.2　自相似集的维数118

9.3　一些变化123

9.4 自仿射集127

9.5　在编码图像中的应用133

9.6　注记和参考文献135

第10章　数论中的例子138

10.1　数的数字分布138

10.2　连分数139

10.3　丢番图逼近141

10.4　注记和参考文献144

第11章　函数的图146

11.1　图的维数146

11.2　分形函数的自相关153

11.3　注记和参考文献157

第12章　纯数学中的例子159

12.1　对偶和挂谷问题159

12.2　Vitushkin猜想162

12.3　凸函数163

12.4　分数维的群和环164

12.5　注记和参考文献166

第13章　动力系统168

13.1　斥子与迭代函数系169

13.2　逻辑斯谛映射172

13.3　拉伸与折叠变换175

13.4　螺线管179

13.5　连续动力系统181

13.6　小因子理论185

13.7　李雅普诺夫指数和熵188

13.8　注记和参考文献191

第14章　复变函数的迭代——Julia集194

14.1　Julia集的一般理论194

14.2 二次函数——Mandelbrot集200

14.3　二次函数的Julia集204

14.4　拟圆周的维数特征211

14.5　解多项式方程的牛顿法213

14.6　注记和参考文献216

第15章　随机分形219

15.1　随机康托尔集220

15.2　分形渗流226

15.3　注记和参考文献229

第16章　布朗运动和布朗曲面231

16.1　布朗运动231

16.2　分数布朗运动239

16.3　Lévy平稳过程243

16.4　分数布朗曲面244

16.5　注记和参考文献246

第17章　多重分形测度248

17.1　粗线条多重分形分析250

17.2　精细多重分形分析254

17.3　自相似多重分形256

17.4　注记和参考文献265

第18章　物理应用268

18.1　分形的生长270

18.2　静电势和引力势的奇异性275

18.3　流体力学和湍流276

18.4　分形天线278

18.5　金融中的分形280

18.6　注记和参考文献283

参考文献286

索引300

译后记304