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第1章 函数、极限与连续1

1.1预备知识1

1.1.1集合1

1.1.2区间和邻域2

1.1.3几个常用的不等式3

1.2函数及其特性3

1.2.1函数的概念3

1.2.2函数的图形5

1.2.3函数的几种特性8

习题1.211

1.3初等函数13

1.3.1基本初等函数13

1.3.2反函数和复合函数14

1.3.3初等函数15

习题1.316

1.4数列的极限17

1.4.1数列的概念17

1.4.2数列的极限18

1.4.3收敛数列的性质21

1.4.4数列极限的运算法则21

习题1.422

1.5函数的极限22

1.5.1自变量趋于无穷大时函数的极限23

1.5.2自变量趋于有限值时函数的极限24

1.5.3单侧极限25

1.5.4函数极限的性质26

1.5.5函数极限的四则运算法则27

习题1.528

1.6极限存在准则及两个重要极限30

1.6.1夹逼准则30

1.6.2重要极限lim x→0 sin x/x=132

1.6.3单调有界数列极限的存在性33

1.6.4重要极限lim x→∞(1+1/x)x=e33

习题1.635

1.7无穷小及其比较36

1.7.1无穷小37

1.7.2无穷小的性质37

1.7.3 无穷大37

1.7.4无穷小的比较38

习题1.740

1.8函数的连续性与间断点41

1.8.1函数的连续性41

1.8.2初等函数的连续性44

1.8.3函数的间断点44

习题1.846

1.9计算极限方法举例47

习题1.951

1.10闭区间上连续函数的性质52

1.10.1最大值最小值定理52

1.10.2有界性定理52

1.10.3零点定理53

1.10.4介值定理53

习题1.1054

本章小结54

总习题一57

第2章 导数59

2.1导数的概念59

2.1.1引例：变速直线运动的瞬时速度59

2.1.2导数的定义60

2.1.3求导数举例61

2.1.4导数的几何意义63

2.1.5函数可导性与连续性的关系65

2.1.6单侧导数65

习题2.166

2.2函数的求导法则68

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则68

2.2.2反函数的求导法则69

2.2.3基本初等函数的求导公式71

习题2.273

2.3复合函数求导法则与高阶导数74

2.3.1复合函数的求导法则74

2.3.2高阶导数76

习题2.378

2.4隐函数及参数方程求导79

2.4.1隐函数的导数79

2.4.2参数方程求导82

2.4.3相关变化率83

习题2.484

2.5函数的微分85

2.5.1微分的定义85

2.5.2可微与可导的关系86

2.5.3微分的几何意义87

2.5.4微分的运算88

2.5.5微分在近似计算中的应用90

习题2.591

本章小结92

总习题二93

第3章 中值定理和导数的应用96

3.1微分中值定理96

3.1.1费马定理96

3.1.2罗尔中值定理97

3.1.3拉格朗日中值定理100

3.1.4柯西中值定理102

习题3.1104

3.2洛必达法则105

3.2.1洛必达法则105

3.2.2几种其他类型不定式极限的求法108

习题3.2109

3.3泰勒公式110

3.3.1麦克劳林公式111

3.3.2泰勒公式112

3.3.3几个常用函数的麦克劳林公式114

习题3.3115

3.4函数的单调性、极值与最大值最小值问题116

3.4.1函数的单调性116

3.4.2函数的极值118

3.4.3最大值最小值问题120

习题3.4123

3.5曲线的凹凸性、拐点与图形的描绘124

3.5.1曲线凹凸性的概念125

3.5.2曲线凹凸性的判定125

3.5.3函数图形的描绘127

习题3.5129

本章小结130

总习题三134

第4章 不定积分136

4.1不定积分的概念与性质136

4.1.1原函数与不定积分136

4.1.2基本积分表139

4.1.3不定积分的性质140

习题4.1142

4.2换元积分法144

4.2.1第一类换元法144

4.2.2第二类换元法147

习题4.2149

4.3分部积分法151

4.3.1被积函数是多项式与指数函数的乘积151

4.3.2被积函数是多项式与三角函数的乘积152

4.3.3被积函数是多项式与对数函数的乘积152

4.3.4被积函数是多项式与反三角函数的乘积153

习题4.3155

4.4有理函数的积分156

4.4.1有理真分式的积分157

4.4.2有理假分式的积分159

习题4.4160

本章小结160

总习题四162

第5章 定积分及其应用164

5.1定积分的概念和性质164

5.1.1引例164

5.1.2定积分的概念167

5.1.3可积条件168

5.1.4定积分的几何意义169

5.1.5定积分的性质171

习题5.1173

5.2微积分基本公式173

5.2.1积分上限函数174

5.2.2牛顿-莱布尼兹公式176

习题5.2178

5.3定积分的基本积分法180

5.3.1换元积分法180

5.3.2分部积分法182

习题5.3183

5.4定积分的应用184

5.4.1微元法思想初步184

5.4.2利用微元法解决应用问题185

5.4.3定积分在几何上的应用186

5.4.4定积分在物理上的应用192

习题5.4195

5.5广义积分196

5.5.1无限区间上的广义积分196

5.5.2无界函数的广义积分197

习题5.5199

本章小结200

总习题五202

第6章 空间解析几何与向量代数206

6.1空间直角坐标系206

6.1.1空间直角坐标系的建立206

6.1.2空间点的坐标207

6.1.3特殊点的坐标207

6.1.4空间两点间距离公式208

6.1.5空间点的轨迹及曲面方程208

习题6.1209

6.2常见空间曲面及其方程210

6.2.1旋转曲面210

6.2.2常见的二次曲面212

习题6.2216

6.3空间曲线及其方程217

6.3.1空间曲线的一般方程217

6.3.2空间曲线的参数方程218

6.3.3空间曲线在坐标面上的投影218

习题6.3220

6.4向量及其线性运算221

6.4.1向量的概念221

6.4.2向量之间的关系221

6.4.3向量的线性运算222

6.4.4向量线性运算的坐标表示224

习题6.4229

6.5向量的数量积与向量积229

6.5.1向量的数量积229

6.5.2向量的向量积231

习题6.5232

6.6平面及其方程233

6.6.1平面的点法式方程233

6.6.2平面的一般式方程234

6.6.3两平面的夹角235

6.6.4点到平面的距离236

习题6.6236

6.7空间直线237

6.7.1直线的对称式方程237

6.7.2直线的一般式方程238

6.7.3两直线的夹角239

6.7.4直线与平面的夹角240

习题6.7241

本章小结242

总习题六245

附录248

A1基本初等函数248

A1.1幂函数248

A1.2指数函数249

A1.3对数函数250

A1.4三角函数251

A1.5反三角函数257

A2应用Mathematica软件解决高等数学中的问题258

A2.1函数与极限问题258

A2.1.1基础性介绍258

A2.1.2二维作图261

A2.1.3函数计算与求近似值269

A2.1.4极限问题270

习题A2.1271

A2.2微分与导数问题271

A2.2.1（显）函数的求导问题272

A2.2.2隐函数及参数方程的求导问题272

A2.2.3微分与微分的近似应用274

习题A2.2275

A2.3导数与微分的应用问题276

A2.3.1求函数的泰勒展开式问题276

A2.3.2判断函数的单调性与曲线的凹凸性277

A2.3.3函数的最大值与最小值问题279

习题A2.3280

A2.4积分运算问题280

A2.4.1求不定积分的运算281

A2.4.2定积分的运算282

A2.4.3积分上限函数的求导与求极限问题283

A2.4.4定积分的数值解284

A2.4.5定积分的应用285

习题A2.4286

A2.5空间解析几何与向量代数287

A2.5.1向量运算及其应用287

A2.5.2三维作图问题289

A2.5.3平面与空间直线问题295

习题A2.5297

总习题297

A3简单数学建模练习题302

习题答案与提示303