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第十章　函数及其图像1

10.1　集合1

Ⅰ．集合的概念1

Ⅱ．集合的表示方法3

Ⅲ．集合的种类4

Ⅳ．集合相等5

Ⅴ．集合的运算6

Ⅵ．集合的运算规律9

Ⅶ．集合分离21

习题10.121

10.2　实数集23

Ⅰ．实数与数轴23

Ⅱ．区间24

Ⅲ．实数的绝对值24

Ⅳ．邻域28

习题10.234

10.3　关系35

Ⅰ．序偶与笛卡儿乘积35

Ⅱ．关系36

习题10.342

10.4　函数关系42

Ⅰ．量、常量和变量42

Ⅱ．函数的定义43

Ⅲ．函数关系中的一一对应概念47

Ⅳ．显函数与隐函数47

Ⅴ．分段函数48

Ⅵ．函数定义域的求法49

Ⅶ．函数值的求法52

习题10.454

Ⅷ．建立函数关系的方法57

习题10.561

Ⅸ．函数的几种表示方法63

10.5　函数的几种特性64

Ⅰ．函数的奇、偶性64

Ⅱ．函数的周期性66

Ⅲ．函数的单调增，减性70

Ⅳ．函数的有界性73

习题10.674

10.6　反函数75

Ⅰ．反函数的概念75

Ⅱ．反函数的求法76

Ⅲ．反函数和它的直接函数之间的关系77

习题10.781

10.7　基本初等函数82

Ⅰ．基本初等函数的概念82

Ⅱ．常值函数y=C（C为常量）82

Ⅲ．幂函数y=xα（α为实数）83

Ⅳ．指数函数y=ax（a＞0但≠1）84

Ⅴ．对数函数y=logαx（a＞0但≠1）85

Ⅵ．三角函数85

Ⅶ．反三角函数87

习题10.895

10.8　复合函数97

Ⅰ．复合函数的概念97

Ⅱ．复合函数的定义域及其求法99

Ⅲ．剖析复合函数复合层次的方法101

习题10.9102

10.9　双曲函数102

Ⅰ．双曲正弦函数102

Ⅱ．双曲余弦函数104

Ⅲ．双曲正切函数104

Ⅳ．双曲余切函数105

Ⅴ．双曲正割函数105

Ⅵ．双曲余割函数106

Ⅶ．双曲函数间的基本关系式107

Ⅷ．反双曲函数109

Ⅸ．双曲函数与三角函数的比较115

习题10.10118

10.10　初等函数的定义118

10.11 函数图像的平移，伸缩和叠加121

Ⅰ．函数图像的平移121

Ⅱ．函数图像的伸缩122

Ⅲ．函数图像的叠加124

习题10.11125

10.12　本章的小结与要求127

Ⅰ．内容小结127

Ⅱ．本章要求141

第十一章　极限142

11.1　数列及其简单性质142

Ⅰ．数列的定义142

Ⅱ．数列的性质144

11.2　数列的极限145

Ⅰ．实例分析145

Ⅱ．数列极限的定义147

Ⅲ．数列极限的几何意义148

Ⅳ．收敛数列的性质153

习题11.1155

11.3　函数的极限156

Ⅰ．自变量趋于常数时函数的极限157

Ⅱ．函数在一点处的左极限和右极限167

Ⅲ．分段函数的极限167

Ⅳ．自变量的绝对值趋向无限大时函数的极限170

习题11.2172

11.4　无穷大·无穷小173

Ⅰ．函数为无穷大173

Ⅱ．函数为无穷小176

Ⅲ．无穷大与无穷小的关系178

Ⅳ．有极限的函数的性质180

习题11.3183

11.5　无穷小的性质184

11.6　极限的四则运算法则188

Ⅰ．极限的加法运算法则189

Ⅱ．极限的乘法运算法则190

Ⅲ．极限的除法运算法则192

习题11.4201

11.7　极限存在准则，两个重要极限203

Ⅰ．极限存在准则203

Ⅱ．两个重要极限204

习题11.5214

11.8　无穷小的比较216

Ⅰ．高阶无穷小217

Ⅱ．低阶无穷小217

Ⅲ．同阶无穷小217

Ⅳ．等价无穷小218

Ⅴ．K价无穷小218

Ⅵ．无穷小的主部219

Ⅶ．等价无穷小的性质220

习题11.6221

11.9　综合性习题选讲222

习题11.7226

11.10　本章的小结与要求228

Ⅰ．本章小结228

Ⅱ．本章要求233

第十二章　函数的连续性234

12.1 函数连续的定义234

Ⅰ．变量的概念234

Ⅱ．函数在一点处连续的定义235

Ⅲ．函数在区间上连续的定义237

Ⅳ．连续函数的几何意义237

12.2　函数的间断点244

Ⅰ．函数在一点处间断的概念244

Ⅱ．间断点的分类244

习题12.1248

12.3　闭区间上连续函数的性质251

Ⅰ．函数在闭区间上连续的概念251

Ⅱ．闭区间上连续函数的性质251

Ⅲ．函数的一致连续性253

习题12.2258

12.4　连续函数的和、积、商的连续性258

Ⅰ．连续函数和（代数和）的连续性258

Ⅱ．连续函数的乘积的连续性259

Ⅲ．连续函数的商的连续性260

12.5　反函数的连续性261

习题12.3266

12.6　复合函数的连续性266

12.7　基本初等函数的连续性268

12.8　初等函数的连续性268

习题12.4270

12.9　本章的小结与要求271

Ⅰ．本章小结271

Ⅱ．本章要求272

第十三章　导数与微分273

13.1　导数的概念274

Ⅰ．实例分析274

Ⅱ．导数的定义279

Ⅲ．导函数的概念280

Ⅳ．可导的必要条件281

Ⅴ．导数的几何意义284

习题13.1287

13.2　基本初等函数的导数288

Ⅰ．三角函数的导数288

Ⅱ．反三角函数的导数294

Ⅲ．指数函数的导数295

Ⅳ．对数函数的导数296

Ⅴ．幂函数的导数297

Ⅵ．常量的导数298

13.3　函数的和、差、积、商的导数299

Ⅰ．函数和的导数299

Ⅱ．函数差的导数300

Ⅲ．函数乘积的导数301

Ⅳ．两个函数之商的导数303

13.4　反函数的导数306

13.5　复合函数的导数309

13.6　双曲函数及反双曲函数的导数314

Ⅰ．双曲函数的导数314

Ⅱ．反双曲函数的导数317

13.7　幂指函数的导数322

Ⅰ．幂指函数的概念322

Ⅱ．幂指函数的导数322

习题13.2324

13.8　隐函数的导数327

Ⅰ．隐函数的概念327

Ⅱ．隐函数的求导方法328

13.9 由参数方程确定的函数的导数330

13.10　高阶导数335

Ⅰ．高阶导数的概念335

Ⅱ．高阶导数的求法336

习题13.3341

13.11　微分概念343

Ⅰ．问题的提示343

Ⅱ．微分的定义344

Ⅲ．微分的求法及其运算法则345

Ⅳ．微分的几何意义346

Ⅴ．微分公式与导数公式的关系347

Ⅵ．微分的形式不变性349

13.12　微分的应用350

Ⅰ．利用微分作近似计算350

Ⅱ．利用微分作误差估计353

习题13.4356

13.13　本章的小结与要求358

Ⅰ．本章的小结358

Ⅱ．本章要求361

第十四章　中值定理、导数的应用362

14.1　中值定理362

Ⅰ．罗尔中值定理363

Ⅱ．拉格朗日中值定理365

Ⅲ．柯西中值定理369

习题14.1379

14.2　未定式的极限·罗必达法则380

Ⅰ．未定式的概念380

Ⅱ．0/0型未定式的极限380

Ⅲ．∞/∞型未定式的极限385

Ⅳ．其他未定式的极限393

习题14.2397

14.3　台劳（Taylor）公式399

Ⅰ．问题的提出399

Ⅱ．台劳定理与台劳公式407

习题14.3419

14.4　函数单调增减性的判定法420

Ⅰ．函数单调增减的必要条件421

Ⅱ．函数单调增减的充分条件422

习题14.4426

14.5　函数的极值及其求法427

Ⅰ．函数极值的概念428

Ⅱ．极值存在的必要条件429

Ⅲ．极值存在的充分条件431

Ⅳ．极值的求法435

习题14.5440

14.6　函数最值的求法440

Ⅰ．单调函数最值的求法441

Ⅱ．不单调函数最值的求法441

习题14.6455

14.7 曲线的凹、凸性及其判定方法457

Ⅰ．曲线凹、凸的定义457

Ⅱ．曲线凹、凸性的判定方法458

14.8　曲线的拐点及其求法461

Ⅰ．拐点的概念461

Ⅱ．拐点的判定方法461

Ⅲ．求拐点的方法与步骤462

习题14.7467

14.9　曲线的渐近线468

Ⅰ．渐近线的概念468

Ⅱ．渐近线的种类468

Ⅲ．渐近线的求法469

习题14.8474

14.10　函数图像的描绘方法474

习题14.9492

14.11　弧微分，曲率493

Ⅰ．弧微分493

Ⅱ．曲线的曲率496

14.12 曲线的曲率半径、曲率圆、曲率中心503

Ⅰ．曲率半径、曲率圆和曲率中心的概念503

Ⅱ．曲率中心的求法503

Ⅲ．曲线的渐屈线506

习题14.10512

14.13　代数方程的近似解法512

Ⅰ．代数方程在某区间内实根存在且唯一的充分条件513

Ⅱ．弦位法515

Ⅲ．切线法（又称牛顿法）519

Ⅳ．综合法523

习题14.11536

14.14　本章的小结与要求537

Ⅰ．本章小结537

Ⅱ．本章的要求545

第十五章　多元函数的微分法及其应用547

15.1　多元函数的概念547

Ⅰ．多元函数问题举例547

Ⅱ．平面区域和平面点的邻域548

Ⅲ．空间区域和空间点的邻域549

Ⅳ．区域的内点，外点和边界点549

Ⅴ．多元函数的定义550

Ⅵ．多元函数的函数值的求法554

习题15.1556

15.2　二元函数的极限及连续性557

Ⅰ．二元函数的极限557

Ⅱ．二元函数极限的几何意义559

Ⅲ．二元函数的连续性559

15.3　三元函数的极限及连续性561

Ⅰ．三元函数的极限561

Ⅱ．三元函数的连续性562

15.4　n元函数的极限及连续性562

Ⅰ．n元函数的极限563

Ⅱ．n元函数的连续性563

15.5　多元连续函数的性质564

习题15.2567

15.6　多元函数的偏导数568

Ⅰ．偏导数的概念568

Ⅱ．二元函数偏导数的几何意义570

Ⅲ．偏导数的求法571

Ⅳ．多元函数可导与连续的关系574

习题15.3575

15.7　多元函数的全增量与全微分576

Ⅰ．多元函数的全增量576

Ⅱ．多元函数的全微分577

15.8　多元函数的方向导数596

Ⅰ．二元函数的方向导数596

Ⅱ．三元函数的方向导数599

习题15.4601

15.9　多元复合函数的微分法602

Ⅰ．多元复合函数偏导数的求法603

Ⅱ．多元复合函数的全导数610

Ⅲ．全微分的形式不变性612

习题15.5614

15.10　高阶偏导数615

Ⅰ．高阶偏导数的概念615

Ⅱ．混合偏导数的性质617

习题15.6638

15.11　隐函数的存在条件及其微分法639

Ⅰ．隐函数的存在条件640

Ⅱ．隐函数的微分法640

习题15.7647

15.12　空间曲线的切线及法平面648

Ⅰ．空间曲线的切线648

Ⅱ．空间曲线的法平面650

15.13　空间曲面的切平面及法线654

Ⅰ．方程为隐式的曲面的切平面及法线方程654

Ⅱ．方程为显式的曲面的切平面及法线方程656

习题15.8665

15.14　二元函数的台劳公式667

习题15.9681

15.15　多元函数的极值682

Ⅰ．二元函数的极值的概念682

Ⅱ．二元函数极值存在的必要条件683

Ⅲ．二元函数极值存在的充分条件686

Ⅳ．二元函数z=f（x,y）极值的求法694

Ⅴ．二元函数的最值问题702

15.16　条件极值—拉格朗日乘数法则709

Ⅰ．问题的提出709

Ⅱ．条件极值的定义709

Ⅲ．条件极值的求法710

Ⅳ．拉格朗日乘数法则712

习题15.10718

15.17　本章的小结与要求719

Ⅰ．本章内容小结719

Ⅱ．本章的基本要求730

附录731

1．反证法731

2．一一对应733

3．对应733

4．法则734

5．牛顿二项式定理734

6．自然数的平方和公式735