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第一部分 高等数学A（一）3

第一章 函数和极限3

一、关于函数的四个特性3

二、函数和复合函数8

三、正确表达和理解极限定义中的逻辑关系12

四、函数的连续性和间断点类型的判定23

五、函数（或数列）极限计算方法27

六、用极限表示函数的计算方法及已知极限确定未知函数中常数的方法52

七、关于无界和无穷大的关系58

八、闭区间上连续函数的性质及其应用60

第二章 导数和微分的概念及其计算方法65

一、导数的基本概念65

二、求导公式和求导运算法则68

三、高阶导数计算方法74

四、隐函数和由参数方程确定函数的一阶导数和二阶导数的计算85

五、微分及其计算方法89

六、几类特殊函数导数的计算92

七、导数的简单应用101

一、中值定理正确性的验证106

第三章 中值定理及其应用106

二、函数零点存在性及个数的讨论108

三、多项式函数的实零点和重数的判定方法118

四、关于ξ的函数值等式或导数值等式的证明120

五、关于利用导数证明不等式122

六、利用极限保号性证明不等式133

七、函数性态的讨论134

一、原函数和不守积分的关系149

第四章 不定积分计算方法149

二、第一类换元法（凑微分）150

三、第二类换元法（变量代换法）152

四、分部积分法156

五、换元法和分部积分法结合使用161

六、关于几类特殊函数的积分方法164

第五章 极限续论187

一、否定命题的表达及其特征187

二、实数连续性196

三、闭区间上连续函数性质的证明及一致连续204

附录一 高等数学A（一）补充习题215

第一章 函数和极限215

第二章 导数和微分的概念及其计算方法217

第三章 中值定理及其应用220

第四章 不定积分计算方法223

第五章 极限续论224

附录二 高等数学A（一）自测题226

第一章 函数和极限226

第二章 导数和微分的概念及其计算方法228

第三章 中值定理及其应用230

第四章 不定积分计算方法232

附录三 高等数学A（一）复习提纲233

第一层次233

第二层次234

第三层次234

附录四 高等数学A（一）历届试题236

1998级高数A（一）试题236

1999级高数A（一）试题237

2000级高数A（一）试题238

2001级高数A（一）试题239

第二部分 高等数学A（二）245

第六章 定积分和定积分应用245

一、积分不等式245

二、几种特殊函数定积分的计算249

三、利用定积分计算和式的极限259

四、利用定积分换元法和分部积分法证明定积分关系式261

五、变限函数导数计算公式及其应用266

六、关于改进的积分中值定理和Cauchy-Schwarz不等式271

七、定积分的几何应用275

八、定积分的物理应用（功和水压力及引力的计算）290

九、广义积分敛散性的判定及计算296

第七章 级数305

一、数列、级数、通项、级数的和数、部分和的正确表达及相互关系305

二、理解级数敛散性的性质和判别法307

三、函数项级数的收敛域及和函数320

四、幂级数的收敛半径域及收敛域的讨论321

五、函数展开幂级数的讨论331

六、幂级数的和函数讨论338

七、关于Taylor公式及其应用352

八、关于函数展开Fouirer级数359

第八章 向量代数和空间解析几何380

一、向量代数中各个几何量的计算380

二、向量的运算规律381

三、向量垂直、平行、共面的条件381

四、平面方程的形式388

六、点到平面的距离389

五、平面平行、垂直、重合的条件389

七、平面方程的确定390

八、直线方程的形式390

九、直线与直线的夹角及平行、垂直、相交、异面的条件392

十、直线与平面的夹角及平行、垂直、相交、直线在平面上的条件393

十一、点到直线的距离394

十二、关于对称点和对称直线的计算395

十三、关于异面直线的讨论396

十四、直线方程确定的方法397

十六、空间曲线Γ的表示409

十五、旋转曲面方程409

十七、空间立体（区域）410

十八、关于立体图形的描绘410

附录五 高等数学A（二）补充习题427

第六章 定积分和定积分应用427

第七章 级数432

第八章 向量代数和空间解析几何438

附录六 高等数学A（二）自测题442

第六章 定积分和定积分应用442

第七章 级数444

第八章 向量代数和空间解析几何446

附录七 高等数学A（二）复习提纲450

第六章 定积分和定积分应用450

第七章 级数452

第八章 向量代数和空间解析几何456

附录八 高等数学A（二）历届试题458

1998级高数A（二）试题458

1999级高数A（二）试题459

2000级高数A（二）试题460

2001级高数A（二）试题462

第三部分 高等数学A（三）467

第九章 多元函数微分学467

一、多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、方向导数之间的关系467

二、多元显式函数一阶偏导数和二阶编导数的计算472

三、关于隐函数存在定理476

四、关于偏导数的变量代换481

五、多元函数微分法的应用486

第十章 多元函数积分学499

一、二重积分的计算和应用499

二、三重积分的计算和应用512

三、第一类曲线积分的计算和应用531

四、第二类曲线积分的计算和应用537

五、第一类曲面积分的计算和应用553

六、第二类曲面积分的计算和应用561

第十一章 微分方程573

一、一阶微分方程及其解法573

二、高阶微分方程及其解法577

三、建立微分方程的典型例子587

第九章 多元函数微分学608

附录九 高等数学A（三）补充习题608

第十章 多元函数积分学611

第十一章 微分方程618

附录十 高等数学A（三）自测题623

第九章 多元函数微分学623

第十章 多元函数积分学（一）625

第十章 多元函数积分学（二）627

第十一章 微分方程628

第九章 多元函数微分学630

附录十一 高等数学A（三）复习提纲630

第十章 多元函数积分学634

第十一章 微分方程638

附录十二 高等数学A（三）历届试题641

1998级高数A（三）试题641

1999级高数A（三）试题642

2000级高数A（三）试题643

2001级高数A（三）试题646

附录十三 上海大学2001年高等数学竞赛试题648