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第一章 射影定理2

1-1 Hilbert空间的定义2

1-2 回顾连续线性与双线性算子9

1-3 由稠密子集的连续线性与双线性算子的扩张14

1-4 最优近似定理17

1-5 直交射影21

1-6 闭子空间，商空间与Hilbert空间的有限积28

1-7 可列分Hilbert空间的直交基底29

第二章 扩张与分隔的定理36

2-1 连续线性与双线性算子的扩张36

2-2 一稠密性判定38

2-3 分隔定理39

2-4 有限维空间的分隔定理40

2-5 支撑函数41

2-6 凸性最佳化的对偶定理45

2-7 Von Neumann的大中取小定理52

2-8 Pareto最佳化的特徵60

第三章 对偶空间与转置算子67

3-1 一Hilbert空间的对偶67

3-2 一Hilbert空间对偶的认同71

3-3 算子的转置74

3-4 单射（嵌射）算子的转置76

3-5 有限积及商空间的对偶，以及闭、稠密子空间、有限积空间的对偶79

3-6 Lax-Milgram的定理84

3-7 变分的不等式86

3-8 n人二次对局的非协力平衡点88

第四章 Banach定理与Banach-Steinhaus定理94

4-1 算子的有界集合之性质94

4-2 历遍平均定理101

4-3 Banach定理105

4-4 闭值域定理110

4-5 左可逆算子的特徵112

4-6 右可逆算子的特徵115

4-7 在线性制限下的二次规划121

第五章 Hilbert空间的构成129

5-1 初始的内积129

5-2 终了的内积132

5-3 一轴（转）空间的正规子空间133

5-4 算子族的闭族之极小与极大领域135

5-5 无界算子与其伴随算子140

5-6 含在一Hilbert空间内之前Hilbert空间的完备化143

5-7 Hausdorff完备化144

5-8 Hilbert空间的Hilbert和146

5-9 内插空间150

5-10 函数所成Hilbert空间的再生核152

第六章 L2空间与褶积算子159

6-1 二乘方可积函数空间L2(Ω)159

6-2 权数空间L2(Ω,a)162

6-3 空间Hs164

6-4 ？0（Rn）函数与L1（Rn）函数的褶积167

6-5 褶积算子172

6-6 以褶积近似174

6-7 例题·特徵函数的褶积幂176

6-8 例题·多项式的褶积，Appell多项式181

第七章 单变数函数的Sobolev空间189

7-1 空间H0m（Ω）与其对偶空间H-m（Ω）189

7-2 荷布的定义190

7-3 荷布的微分192

7-4 H0m（Ω）与H0m（R）之间的关系197

7-5 Sobolev空间Hm（Ω）200

7-6 Hm（Ω）与Hm（R）之间的关系205

7-7 Hm（Ω）之对偶的特徵209

7-8 纵迹定理211

7-9 荷布的褶积213

第八章 在函数空间的一些近似方法218

8-1 直交多项式的近似法218

8-2 Legendre,Laguerre，及Hermite多项式221

8-3 Fourier级数225

8-4 以阶梯函数的近似法228

8-5 以片段多项式函数的近似231

8-6 在Sobolev空间中之近似237

第九章 多变数函数的Sobolev空间与Fourier变换244

9-1 Sobolev空间H0m（Ω）,Hm（Ω）与H-m（Ω）244

9-2 无限次可微与急速下降（遽降）函数的Fourier变换247

9-3 Sobolev空间的Fourier变换256

9-4 空间Hm（？）的纵迹定理260

9-5 对於空间Hm（Ω）的纵迹定理271

9-6 紧致定理275

第十章 凸性分析基础280

10-1 共轭函数280

10-2 梯度285

10-3 劣微分289

10-4 对一极小化问题的极值条件299

10-5 一极小化问题的Hamilton算子与Lagrange算子305

第十一章 基础谱论312

11-1 紧致算子312

11-2 Riesz-Fredholm的理论316

11-3 从一Hilbert空间到另一空间的紧致算子之特徵320

11-4 Fredholm不变式323

11-5 应用；中间空间的构成326

11-6 应用；最优近似法329

11-7 用一紧致算子摄动的同构映射335

第十二章 Hilbert-Schmidt算子与张量积343

12-1 Hilbert-Schmidt算子的Hilbert空间343

12-2 基本的同构定理352

12-3 Hilbert张量积354

12-4 连续线性算子的张量积360

12-5 以e2作Hilbert张量积366

12-6 以L2作Hilbert张量积367

12-7 以Sobolev空间Hm作张量积370

第十三章 边界值问题379

13-1 一算子的形式伴随与Green的公式379

13-2 对双线性形的Green公式391

13-3 抽象边界值问题的变分398

13-4 边界值问题之例子407

13-5 Neumann问题的近似解415

13-6 形式伴随的限制与扩张422

13-7 单面性边界值问题427

13-8 变分学的介绍431

13-9 最佳控制的简介437

第十四章 微分算子的方程式与算子半群445

14-1 算子的半群445

14-2 半群之无限小生成元的圈定453

14-3 微分—算子的方程式459

14-4 抛物型方程式的边界值问题464

14-5 系统理论：内向与外向的表现466

第十五章 非线性分析简介478

15-1 上半域连续对应478

15-2 一对应之临界点的存在定理481

15-3 关於一对应的固定点定理489

15-4 正规锥与切锥的性质492

15-5 变分性不等式497

15-6 拟变分性不等式500

15-7 在n个人对局的非协力平衡点503

15-8 Walras不等式505

15-9 关於对应的Perron-Frobenius定理508

附录 选出的重要结果513

第一节 一般性质513

第二节 连续线性算子的性质515

第三节 分隔定理与极性517

第四节 Hilbert空间的构成519

第五节 紧致算子521

第六节 半群算子523

第七节 Green的公式524

第八节 凸性分析与最佳化526

第九节 非线性分析530

第十节 大中取小不等式533

第十一节 Sobolev空间、褶积，及Fourier变换534

练习题539

第一章539

第二章545

第四章546

第五章547

第六章548

第七章549

第十章550

第十一章554

第十三章558

第十四章559

第十五章562