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第一章 数学模拟概述1

第一节 引言1

一、数学模拟1

二、模型构建2

三、参数估算4

第二节 数学模型6

一、微分方程6

二、函数方程和积分方程9

三、统计模型10

第三节 数值法10

一、数值积分10

二、偏微分方程的数值解12

第二章 微积分与复变量13

第一节 微积分13

一、集合论13

二、微分与积分15

三、偏微分21

四、多重积分23

五、雅可比矩阵23

第二节 复变量25

一、复数与复数函数25

二、解析函数27

第三节 复变积分28

一、柯西积分定理28

二、留数定理29

第三章 向量与矩阵31

第一节 向量31

一、向量的点积31

二、向量的叉积32

三、向量的微分33

四、线积分34

五、三个基本算子34

六、一些重要的定理35

第二节 矩阵代数36

一、矩阵36

二、行列式37

三、逆矩阵38

四、矩阵指数38

五、线性方程组的解法39

六、高斯—塞德尔迭代41

第三节 张量42

一、张量表示法42

二、张量变换42

第四章 常微分方程与积分变换45

第一节 常微分方程45

一、一阶常微分方程45

二、高阶常微分方程47

三、线性方程组48

四、斯特姆—刘维尔方程49

第二节 积分变换50

一、傅里叶级数51

二、傅里叶积分54

三、傅里叶变换55

四、拉普拉斯变换56

五、小波变换58

第五章 偏微分方程和求解方法59

第一节 偏微分方程59

一、一阶偏微分方程59

二、二阶偏微分方程的分类60

第二节 经典数学模型60

一、拉普拉斯方程和泊松方程60

二、抛物型方程61

三、波动方程61

第三节 其他数学模型61

一、弹性波方程62

二、反应—扩散方程62

三、纳维—斯托克斯方程62

四、地下水流体62

第四节 求解方法63

一、分离变量法63

二、拉普拉斯变换65

三、傅里叶变换66

四、相似性解法66

五、变量变换法67

第六章 概率69

第一节 随机性和概率69

第二节 条件概率74

第三节 随机变量和矩74

一、随机变量74

二、均值和方差75

三、矩与矩生成函数76

第四节 二项式分布和泊松分布77

一、二项式分布77

二、泊松分布77

第五节 高斯分布79

第六节 其他分布80

第七节 中心极限定理81

第八节 威布尔分布83

第七章 地质统计86

第一节 样本均值与方差86

第二节 最小二乘法87

一、最大似然法87

二、线性回归88

三、相关系数89

第三节 假设检验90

一、置信区间90

二、学生t-分布92

三、学生t-检验93

第四节 数据插值95

一、样条插值95

二、拉格朗日插值多项式100

三、贝赛尔曲线101

第五节 克里金法102

第八章 数值积分109

第一节 寻根算法109

一、二分法110

二、牛顿法111

三、迭代法112

第二节 数值积分114

一、梯形法则114

二、阶符号116

三、辛普森法则117

第三节 高斯积分118

第九章 有限差分法122

第一节 常微分方程的积分122

一、欧拉法122

二、蛙跳法124

三、龙格—库塔法124

第二节 双曲型方程125

一、一阶双曲型方程125

二、二阶波动方程126

第三节 抛物型方程127

第四节 椭圆型方程128

第十章 有限体积法130

第一节 简介130

第二节 椭圆型方程131

第三节 双曲型方程131

第四节 抛物型方程132

第十一章 有限元法134

第一节 有限元的概念134

一、简单的弹簧系统134

二、杆单元138

第二节 有限元公式140

一、弱公式化140

二、伽辽金法141

三、形函数141

四、估算微分和积分144

第三节 热传递145

一、基本公式145

二、单元—单元组合147

三、边界条件的应用148

第四节 瞬态问题150

一、时间维度150

二、时间步进法151

三、行波151

第十二章 弹性与孔隙弹性153

第一节 胡克定律和弹性153

第二节 剪应力157

第三节 运动方程158

第四节 欧拉—伯努利梁理论161

第五节 艾里应力函数164

第六节 断裂力学166

第七节 Biot理论170

一、Biot孔隙弹性理论170

二、有效应力172

第八节 线性孔隙弹性理论172

一、孔隙弹性理论172

二、运动方程174

第十三章 多孔介质中的流动175

第一节 地下水流175

一、孔隙度175

二、达西定律175

三、流动方程176

第二节 污染物迁移180

第三节 固结理论182

第四节 黏滞蠕变186

一、幂律蠕变186

二、蠕变定律的推导187

第五节 水力破碎190

一、基本机理191

二、成岩作用191

三、岩脉和底辟的扩张192

第十四章 数学优化196

第一节 最优化196

第二节 最优性准则197

第三节 无约束最优化198

一、一元函数198

二、多元函数199

第四节 梯度法201

一、牛顿法201

二、最速下降法202

第十五章 非线性规划206

第一节 引言206

第二节 罚函数方法206

第三节 拉格朗日乘子法207

第四节 卡罗需—库恩—塔克条件209

第五节 序贯二次规划209

一、二次规划209

二、序贯二次规划详述209

第六节 没有免费午餐定理211

第十六章 演化计算与群体智能213

第一节 演化计算简介213

第二节 模拟退火213

第三节 遗传算法217

一、基本步骤217

二、参数的选择219

第四节 差分进化算法219

第五节 群体智能222

一、蚂蚁和蜜蜂算法223

二、粒子群优化算法223

三、加速粒子群优化算法225

四、二进制粒子群优化算法226

第十七章 群体智能新算法228

第一节 萤火虫算法228

第二节 布谷鸟搜索算法230

第三节 蝙蝠算法233

第四节 花授粉算法235

第五节 其他算法237

参考文献238

附录 Matlab和Octave程序242

一、高斯求积242

二、牛顿法243

三、波动方程246