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第1章 常微分方程初、边值问题数值解法1

1.1 引言1

1.2 Euler方法3

1.2.1 Euler方法及其几何意义3

1.2.2 Euler方法的误差分析4

1.2.3 Euler方法的稳定性6

1.2.4 改进的Euler方法7

1.3 Runge-Kutta方法8

1.3.1 显式Runge-Kutta方法8

1.3.2 隐式Runge-Kutta方法13

1.3.3 半隐式Runge-Kutta方法16

1.3.4 单步法的稳定性和收敛性17

1.4 线性多步方法20

1.4.1 Adams外插法20

1.4.2 Adams内插法24

1.4.3 一般线性多步公式26

1.5 线性多步法的稳定性和收敛性29

1.5.1 线性差分方程29

1.5.2 线性多步法的局部截断误差32

1.5.3 线性多步法的稳定性和收敛性35

1.5.4 绝对稳定性40

1.6 预估-校正算法47

1.7 刚性方程组的解法54

1.8 解常微分方程边值问题的试射法58

1.8.1 二阶线性常微分方程的试射法60

1.8.2 二阶非线性常微分方程的试射法61

1.9 解两点边值问题的有限差分方法63

1.9.1 有限差分近似的基本概念64

1.9.2 用差商代替导数的方法66

1.9.3 积分插值法68

1.9.4 解三对角方程组的追赶法70

1.10 Hamilton系统的辛几何算法71

1.10.1 辛几何与辛代数的基本概念73

1.10.2 线性Hamilton系统的辛差分格式76

1.10.3 辛Runge-Kutta方法79

习题182

第2章 抛物型方程的差分方法86

2.1 有限差分格式的基础89

2.2 一维抛物型方程的差分方法95

2.2.1 常系数热传导方程95

2.2.2 变系数热传导方程103

2.3 差分格式的稳定性和收敛性106

2.3.1 ε图方法106

2.3.2 稳定性分析的矩阵方法108

2.3.3 Gerschgorin定理及其应用120

2.3.4 稳定性分析的Fourier方法124

2.3.5 Kreiss矩阵定理132

2.3.6 能量方法142

2.3.7 差分方程的收敛性145

2.4 二维抛物型方程的差分方法147

2.4.1 显式差分格式148

2.4.2 隐式差分格式151

2.4.3 差分格式的稳定性分析153

2.4.4 交替方向隐式差分格式156

2.4.5 辅助应变量的边界条件161

习题2163

第3章 双曲型方程的差分方法168

3.1 一维双曲型方程的特征线方法168

3.1.1 一阶线性双曲型方程168

3.1.2 一阶拟线性双曲型方程171

3.1.3 二阶拟线性双曲型方程174

3.2 一维一阶线性双曲型方程的差分方法179

3.2.1 双曲型方程的初值问题179

3.2.2 双曲型方程的初边值问题190

3.3 一维一阶线性双曲型方程组的差分方法191

3.3.1 Lax-Friedrichs格式192

3.3.2 Lax-Wendroff格式194

3.3.3 Courant-Isaacson-Rees格式196

3.4 高维一阶线性双曲型方程的差分方法201

3.4.1 Lax-Wendroff格式202

3.4.2 显式MacCormack格式203

3.4.3 Strang分裂格式204

3.5 二阶线性双曲型方程的差分方法207

3.5.1 一维波动方程207

3.5.2 二维波动方程213

3.6 拟线性双曲型守恒律的差分方法218

3.6.1 守恒律与弱解218

3.6.2 熵条件和可容许解228

3.6.3 守恒型差分方法232

3.6.4 高分辨TVD格式239

习题3254

第4章 椭圆型方程的差分方法258

4.1 Poisson方程边值问题的差分方法259

4.1.1 五点差分格式259

4.1.2 边界条件的离散260

4.2 极坐标下Poisson方程的差分方法266

4.3 Poisson方程的有限体积方法267

4.4 差分方法的收敛性和误差估计271

4.4.1 离散边值问题的可解性271

4.4.2 差分格式的收敛性和误差估计272

4.5 一般二阶线性椭圆型方程差分方法274

4.6 椭圆型差分方程的迭代解法278

4.6.1 迭代法的基本理论278

4.6.2 Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel迭代方法281

4.6.3 逐次超松弛迭代法287

4.6.4 相容次序和性质A289

4.6.5 共轭梯度方法294

4.7 多重网格方法301

4.7.1 双重网格方法302

4.7.2 多重网格方法307

习题4309

第5章 有限元方法312

5.1 引言312

5.2 变分原理312

5.2.1 一个典型例子312

5.2.2 二次泛函的变分问题315

5.2.3 Ritz法与Galerkin法317

5.3 几何剖分与分片插值319

5.3.1 三角形单元剖分320

5.3.2 三角形线性元与面积坐标322

5.3.3 其他三角形Lagrange型单元326

5.3.4 三角形Hermite型单元329

5.3.5 矩形Lagrange型单元331

5.3.6 矩形Hermite型单元335

5.3.7 变分问题的有限元离散化337

5.4 Sobolev空间初步340

5.4.1 广义导数340

5.4.2 Sobolev空间Hk（Ω）与Hko（Ω）342

5.4.3 嵌入定理与迹定理343

5.4.4 等价模定理345

5.5 协调元的误差分析346

5.5.1 Lax-Milgram定理346

5.5.2 典型边值问题的适定性348

5.5.3 投影定理351

5.5.4 收敛性与误差估计353

5.6 非协调有限元356

5.6.1 非协调元的例子356

5.6.2 非协调元的收敛性357

5.7 自适应有限元358

5.7.1 自适应方法简介358

5.7.2 后验误差估计359

习题5363

第6章 边界元方法372

6.1 引言372

6.2 经典边界归化373

6.2.1 调和边值问题、Green公式和基本解373

6.2.2 间接边界归化376

6.2.3 直接边界归化380

6.3 自然边界归化382

6.3.1 自然边界归化原理382

6.3.2 典型域上的自然边界归化384

6.3.3 自然积分算子的性质389

6.4 边界积分方程的数值解法390

6.4.1 配置法390

6.4.2 Galerkin法391

6.4.3 一类超奇异积分方程的数值解法392

6.5 有限元边界元耦合法393

6.5.1 有限元法与边界元法比较393

6.5.2 自然边界元与有限元耦合法原理394

6.6 无穷远边界条件的近似397

6.6.1 人工边界上的近似边界条件397

6.6.2 近似积分边界条件与误差估计400

6.7 区域分解算法400

6.7.1 有界区域的区域分解算法400

6.7.2 基于边界归化的区域分解算法403

习题6406

参考文献409

附录 冯康院士与科学计算412