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第1章 线性空间与线性变换1

1.1 线性空间1

一、集合与映射1

二、线性空间及其性质5

三、线性空间的基与坐标9

四、基变换与坐标变换11

五、线性子空间16

六、子空间的交与和20

习题1.125

1.2 线性变换及其矩阵26

一、线性变换及其运算27

二、线性变换的矩阵表示34

三、特征值与特征向量43

四、对角矩阵57

五、不变子空间60

六、Jordan标准形介绍62

习题1.277

1.3 两个特殊的线性空间80

一、Euclid空间的定义与性质80

二、正交性87

三、正交变换与正交矩阵94

四、对称变换与对称矩阵97

五、酉空间介绍100

习题1.3106

第2章 范数理论及其应用109

2.1 向量范数及其性质109

一、向量范数的概念及ιp范数109

二、线性空间Vn上的向量范数的等价性118

习题2.1121

2.2 矩阵的范数122

一、矩阵范数的定义与性质122

二、几种常用的矩阵范数127

习题2.2132

2.3 范数的一些应用132

一、矩阵的非奇异性条件132

二、近似逆矩阵的误差—逆矩阵的摄动134

三、矩阵的谱半径及其性质135

习题2.3138

第3章 矩阵分析及其应用139

3.1 矩阵序列139

习题3.1142

3.2 矩阵级数142

3.3 矩阵函数149

一、矩阵函数的定义与性质149

二、矩阵函数值的求法153

三、矩阵函数的另一定义160

习题3.3163

3.4 矩阵的微分和积分163

一、矩阵A（t）的导数与积分163

二、其他微分概念166

习题3.4170

3.5 矩阵函数的一些应用171

一、一阶线性常系数齐次微分方程组171

二、一阶线性常系数非齐次微分方程组174

习题3.5177

第4章 矩阵分解178

4.1 Gauss消去法与矩阵的三角分解178

一、Gauss消去法的矩阵形式178

二、矩阵的三角（LU）分解182

三、其他三角分解及其算法189

四、分块矩阵的拟LU分解与拟LDU分解193

习题4.1195

4.2 矩阵的QR分解196

一、Givens变换与Householder变换196

二、矩阵的QR（正交三角）分解203

三、矩阵与Hessenberg矩阵的正交相似问题215

习题4.2219

4.3 矩阵的满秩分解220

习题4.3225

4.4 矩阵的奇异值分解225

一、矩阵的正交对角分解226

二、矩阵的奇异值与奇异值分解227

三、矩阵正交相抵的概念233

习题4.4233

第5章 特征值的估计及对称矩阵的极性235

5.1 特征值的估计235

一、特征值的界236

二、特征值的包含区域245

三、扰动理论中的特征值估计259

习题5.1262

5.2 广义特征值问题264

一、广义特征值问题的等价形式264

二、特征向量的正交性265

习题5.2266

5.3 对称矩阵特征值的极性266

一、实对称矩阵的Rayleigh商的极性266

二、广义特征值的极小极大原理271

三、矩阵奇异值的极小极大性质274

习题5.3277

5.4 矩阵的直积及其应用277

一、直积的概念278

二、线性矩阵方程的可解性284

习题5.4289

第6章 广义逆矩阵290

6.1 投影矩阵290

一、投影算子与投影矩阵291

二、正交投影算子与正交投影矩阵294

习题6.1296

6.2 广义逆矩阵的存在、性质及构造方法296

一、Penrose的广义逆矩阵定义296

二、广义逆矩阵的性质及构造方法298

三、Moore-Penrose逆的等价定义305

习题6.2307

6.3 广义逆矩阵的计算方法308

一、利用Hermite标准形计算矩阵的｛1｝-逆和｛1,2｝-逆308

二、利用满秩分解求广义逆矩阵310

三、计算A＋的Zlobec公式312

四、Greville方法315

五、一些特殊分块矩阵的广义逆矩阵319

六、计算一类实Hessenberg矩阵的广义逆321

七、计算A＋的迭代方法329

习题6.3334

6.4 广义逆矩阵与线性方程组的求解334

一、线性方程组的相容性、通解与广义｛1｝-逆335

二、相容线性方程组的极小范数解与广义｛1,4)-逆338

三、矛盾方程组的最小二乘解与广义｛1,3}-逆340

四、矛盾方程组的极小范数最小二乘解与广义逆矩阵A+342

五、矩阵方程AXB=D的极小范数最小二乘解343

习题6.4344

6.5 约束广义逆和加权广义逆346

一、约束广义逆346

二、加权广义逆348

习题6.5351

6.6 Drazin广义逆352

一、方阵的指标352

二、Drazin逆354

三、Drazin逆的谱性质356

四、Drazin逆的计算方法357

五、Drazin逆的特例—群逆360

习题6.6361

第7章 若干特殊矩阵类介绍363

7.1 正定矩阵与正稳定矩阵365

一、正定矩阵及一些矩阵不等式365

二、正稳定矩阵372

习题7.1376

7.2 对角占优矩阵377

一、强对角占优与不可约对角占优矩阵377

二、具非零元素链对角占优矩阵380

三、拟对角占优矩阵381

四、半强对角占优矩阵383

五、块对角占优矩阵385

习题7.2387

7.3 非负矩阵387

一、非负矩阵387

二、单调矩阵389

三、矩阵的正则分裂及弱正则分裂391

习题7.3393

7.4 M矩阵与广义M矩阵394

一、40个充要条件介绍394

二、M矩阵398

三、广义M矩阵404

习题7.4405

7.5 Toeplitz矩阵及其有关矩阵407

一、Toeplitz矩阵与Hankel矩阵等407

二、循环矩阵412

三、其他特殊的T矩阵416

7.6 其他特殊矩阵417

一、Vandermonde矩阵417

二、Hilbert矩阵422

三、Hadamard矩阵424

习题答案或提示427

参考文献447