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第一章 绪论1

1.1 数学物理微分方程1

1.2 坐标变换3

1.2.1 波动方程中的应用6

1.2.2 参与计算的不同函数的举例11

13. 伽傌(gamma)和倍塔(beta)函数12

第一部分 积分方法19

第二章 迴路积分和保角变换19

2.1 复平面中的迴路积分19

2.1.1 曲线积分23

2.1.2 斯笃克斯(Stokes)定理24

2.1.3 柯西(Gauchy)定理25

2.1.4 有理函数26

2.1.5 迴路积分定理、留数计算32

2.2 保角变换41

2.2.1 交互变换：无穷远点45

2.2.2 双线性变换或麦比乌斯(M？bius)变换46

2.2.3 变换w=z+k2/z,k是正实数48

2.2.4 变换w=logz49

2.2.5 变换w=coshz50

2.2.6 连续变换，例：w=tg2(1/4π？)50

2.2.7 半平面到多边形的变换(旋瓦兹-克利斯多菲变换)(Schwarz-Christoffel)51

2.2.8 保角变换应用小结52

第三章 稳相法和最速落径法54

3.1 稳相法(或稳相原则)54

3.1.1 初始扰动波(位移或脉冲)沿水面的传播56

3.1.2 地震面波59

3.1.3 频散波的横折射60

3.2 最速落径法62

3.2.1 瓦特逊(Watson)引理62

3.2.2 最速落径法63

3.2.3 最速落径法的应用67

3.2.4 最速落径法与稳相法的比较71

3.3 埃里(Airy)积分72

3.3.1 定义72

3.3.2 级数展开74

3.3.3 渐近表示式78

3.3.4 应用80

4.1 基本概念83

第四章 级数积分83

4.1.1 级数积分法应用的限制86

4.1.2 朗斯基或朗斯基(Wronskian)行列式88

4.2 勒让德(Legendre)微分方程89

4.2.1 物理上的应用96

4.2.2 Pn(x)和Qn(x)之间的关系96

4.3 贝塞耳(Bessel)微分方程99

4.3.1 朗斯基行列式在贝塞耳微分方程中的应用106

4.3.2 勒让德方程和贝塞耳方程之间关系107

4.4 埃尔米特(Hermite)微分方程108

4.5 拉盖尔(Laguerre)微分方程112

4.5.1 缔合拉盖尔多项式和拉盖尔函数114

4.5.2 拉盖尔函数的地震学应用115

4.6 高斯(超越几何)微分方程--惠特(Whittaker)函数117

4.6.1 向勒让德方程的变换120

4.6.2 车比雪夫(Tschebyscheff)多项式121

4.6.3 雅可比(Jacobi)多项式121

4.6.4 组合超越几何函数122

4.6.5 惠特函数123

4.6.6 韦伯(Weber)函数128

4.6.7 向波动方程的变换129

4.7 非均匀各向同性介质的乐夫(Love)波131

第二部分 特殊函数136

第五章 贝塞耳函数136

5.1 贝塞耳函数的起源136

5.2 贝塞耳系数的性质139

5.2.1 一个重要定理139

5.2.2 贝塞耳系数的循环关系142

5.2.3 贝塞耳系数的级数展开144

5.2.4 贝塞耳系数的积分表示式147

5.2.5 贝塞耳系数的加法公式152

5.2.6 含有贝塞耳函数的积分153

5.2.7 贝塞耳级数展开，傅里叶-贝塞耳积分155

5.3 广义贝塞耳函数159

5.3.2 球面贝塞耳函数164

5.3.3 修正贝塞耳函数166

5.3.1 零阶汉克尔(Hankel)函数169

5.3.4 ber和bei函数171

5.3.5 贝塞耳函数的渐近表示式172

5.4 贝塞耳和汉克尔函数的应用176

5.4.1 声学重力波176

5.4.2 圆锥形压缩波180

5.4.3 非均匀半空间波的反射183

第六章 勒让德函数189

6.1 勒让德多项式189

6.1.1 勒让德多项式的性质190

6.1.2 正交系194

6.1.3 勒让德级数展开196

6.1.4 洛得利格(Rodrigues)公式197

6.1.5 勒让德多项式的循环关系198

6.1.6 Pn(x)的斯列夫利(Schlafli)积分200

6.2 勒让德函数200

6.2.1 第一类勒让德函数200

6.2.2 第二类勒让德函数202

6.2.3 费勒(Ferrer)缔合勒让德函数203

6.2.4 缔合勒让德函数的积分性质204

6.3 勒让德函数的应用208

6.3.1 勒让德函数表示的拉普拉斯方程的解。球调和函数208

6.3.2 勒让德函数表示的波动方程解211

6.3.3 勒让德函数的一些其它地球物理应用212

第七章 波动方程214

7.1 波动方程的一般研究214

7.1.1 平面波215

7.1.2 球面波216

7.1.3 分离变量217

7.2 波动方程的空间形式解218

7.2.1 一维218

7.2.2 二维219

7.2.3 三维221

7.2.4 结束语228

7.3 球面波展开为平面波：索末菲(Sommerfeld)积分229

7.4 波动方程的基尔霍夫(Kirchhoff)解235

7.4.1 泊松(Poisson)公式244

7.4.2 亥姆霍兹(Hclmholtz)公式245

7.4.3 基尔霍夫公式的推广246

7.5 特殊函数及特殊微分方程的共同特征247

7.5.1 母函数247

7.5.2 斯特姆-刘维尔(Sturm-Liouville)定理251

7.5.3 从一个微分方程到另一个方程的推导253

7.5.4 数学物理偏微分方程253

8.1 拉普拉斯(Laplace)变换和傅里叶(Fourier)变换介绍255

8.1.1 积分变换的定义255

第八章 积分变换255

第三部分 数学方法选255

8.1.2 傅里叶积分公式256

8.1.3 反演公式258

8.1.4 拉普拉斯变换在微分方程中的应用263

8.1.5 傅里叶变换的应用267

8.1.6 有限变换271

8.2 应用拉普拉斯变换解微分方程275

8.2.1 常系数线性常微分方程276

8.2.2 拉普拉斯变换的一些定理278

8.2.3 拉普拉斯变换反演定理，借助复平面中迴路积分计算反演公式282

8.2.4 线性偏微分方程285

8.2.5 薄膜的受迫振动287

8.2.6 热辐射流294

8.2.7 半无限固体中的热流297

8.3 脉冲函数299

8.3.1 获拉克δ-函数299

8.3.2 δ-函数在卷积公式中的应用304

8.3.3 平面边界处的地震波310

8.3.4 超临界角入射的脉冲反射315

8.4 卡格尼阿(Gagniard)法320

8.4.1 方法概述320

8.4.2 对无限介质中球面空腔源的应用322

8.4.3 结束语和对任意源函数的推广337

第九章 矩阵计算341

9.1 引言341

9.2.1 波在任意多层构造中的传播342

9.2 瑞利波的哈斯开尔(Haskell)矩阵法342

9.2.2 位移和应力346

9.2.3 边界条件和它们的解347

9.2.4 垂直位移和水平位移间的相位差353

9.2.5 长波的渐近形式355

9.2.6 短波的渐近形式356

9.2.7 液体层的矩阵am360

9.3 乐夫波362

9.4 体波在多层介质中的传播364

第十章 变分计算366

10.1 变分计算基础366

10.1.1 一个独立变量和一个因变量366

10.1.2 一个独立变量和数个因变更368

10.1.3 数个独立变量和一个因变量370

10.1.4 高阶导数371

10.1.5 特殊情况中尤拉方程的解372

10.1.6 附属或者辅助条件，拉格朗日(Lagrange)未定乘子法，等周问题373

10.2 变分计算的应用375

10.2.1 变分问题得到的斯特姆-刘维尔方程375

10.2.2 地震体波传播的变分问题376

10.2.3 运动的变分方程381

第十一章 积分方程385

11.1 积分方程的定义和解385

11.1.1 定义385

11.1.2 特殊类型积分方程的解386

11.1.4 微分方程和积分方程的关系391

11.1.3 傅里叶和拉普拉斯变换391

11.2 地震射线理论中的应用394

11.2.1 阿贝耳(Abel)积分方程的解394

11.2.2 地球内部速度分布的确定397

第四部分 一些地震学应用401

第十二章 兰姆(Lamb)问题401

12.1 各向同性弹性固体中的二维问题(面源，线源)401

12.1.1 引言(无限弹性固体)401

12.1.2 无限弹性固全中作用在y=0平面上的周期力(或者作用在y=0的薄层上)405

12.1.3 无限弹性固体中作用于x=0、y=0线上的集中力406

12.1.4 作用于半无限弹性固体表面上的垂直力411

12.1.5 沿着x=0，y=0线作用于半无限弹性固体表面的垂直力412

12.1.6 作用于半无限弹性固体表面的切向力413

12.1.7 无限弹性固体中保持平面y=0无应力条件下的三个线源的情况415

12.1.8 位移积分解的计算418

12.2 各向同性弹性固体中的三维问题(体源、点源)429

12.2.1 绪论429

12.2.2 无限弹性固体中作用于z=0平面上的周期力(面源)434

12.2.3 无限弹性固体中沿Z轴作用的周期力(点源)435

12.2.4 作用于半无限弹性固体表面的周期力(面源)436

12.2.5 作用在源处的集中垂直压力(点源)437

12.2.6 积分解的计算437

12.3 三维情况中的任意时间变化441

第十三章 波在液体中的传播446

13.1 波在两个半空间液层中的传播446

13.1.1 位移位积分解的推导446

13.1.2 积分解的计算450

13.1.3 远距离处的解457

13.1.4 对脉冲的推广458

13.2 速度随深度变化的液体半空间中波的传播462

第十四章 重力对波传播的影响469

14.1 数学引论469

14.2 体波475

14.2.1 微分方程的推导475

14.2.2 用体膨胀表示的微分方程的解477

14.2.3 用位移表示的解478

14.2.4 引入压力消除积分常数C479

14.2.5 ［19］式的解480

14.2.6 解［26］式的讨论481

14.3 面波488

参考文献490