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第1部分 算术2

第1章 算术2

1.1 数的概念、性质和运算2

1 数的概念2

2 数的整除2

3 数的四则运算3

4 比和比例3

1.2 应用问题举例3

1 整数和小数四则运算应用题3

2 分数与百分数应用题7

3 简单方程应用题9

4 比和比例应用题10

1.3 典型例题11

第2部分 初等代数26

第2章 数和代数式26

2.1 实数和复数26

1 实数、数轴26

2 实数的运算26

3 复数27

2.2 代数式及其运算28

1 整式及其加法与乘法28

2 因式分解29

3 整式的除法30

4 分式31

5 根式32

2.3 典型例题33

第3章 集合、映射和函数36

3.1 集合36

1 集合的概念36

2 集合的包含关系37

3 集合的基本运算37

3.2 映射和函数38

1 映射的概念38

2 函数39

3 反函数40

4 函数的单调性、奇偶性和周期性41

5 幂函数、指数函数和对数函数41

3.3 典型例题44

第4章 代数方程和简单的超越方程47

4.1 概念47

4.2 一元一次方程47

4.3 二元一次方程组47

4.4 一元二次方程的性质49

1 判别式49

2 根和系数的关系49

3 二次函数的图像和一元二次方程的根49

4.5 解一元代数方程50

1 配方法50

2 公式法51

3 分解因式法51

4.6 根的范围、方程的变换52

1 确定根所属的区间52

2 方程的变换53

4.7 典型例题53

第5章 不等式57

5.1 不等式的概念和性质57

1 不等式的概念57

2 不等式的基本性质57

3 基本的不等式57

4 解不等式58

5.2 解含绝对值的不等式59

5.3 解一元二次不等式59

5.4 利用函数的性质和图像解不等式61

5.5 典型例题62

第6章 数列、数学归纳法66

6.1 数列的基本概念66

6.2 等差数列67

6.3 等比数列69

6.4 数学归纳法71

6.5 典型例题71

第7章 排列、组合、二项式定理和古典概率76

7.1 排列和组合76

1 基本概念76

2 排列数和组合数公式76

3 例题77

7.2 二项式定理79

7.3 古典概率问题80

1 基本概念80

2 等可能事件的概率81

3 互斥事件有一个发生的概率82

4 相互独立事件同时发生的概率83

5 独立重复试验84

7.4 典型例题84

第3部分 几何与三角90

第8章 常见几何图形90

8.1 常见平面几何图形90

1 三角形90

2 四边形91

3 圆和扇形92

4 平面图形的全等和相似关系92

8.2 常见空间几何图形94

1 长方体94

2 棱柱体和圆柱体94

3 正棱锥体和正圆锥体94

4 球95

8.3 典型例题96

第9章 三角学的基本知识106

9.1 三角函数106

1 角和三角函数106

2 同角三角函数的关系107

3 诱导公式107

4 三角函数的图像和性质108

9.2 两角和与差的三角函数109

1 两角和与差公式109

2 倍角与半角公式110

9.3 解斜三角形111

9.4 反三角函数112

9.5 典型例题114

第10章 平面解析几何118

10.1 平面向量118

1 基本概念118

2 向量的加法与数乘118

3 向量的内积120

4 有向线段的定比分点120

10.2 直线121

1 直线的方向向量、倾斜角和斜率121

2 直线的方程121

3 两条直线的位置关系123

10.3 圆125

10.4 椭圆126

10.5 双曲线127

10.6 抛物线128

10.7 例题129

10.8 典型例题129

第4部分 一元函数微积分136

第11章 极限与连续136

11.1 函数及其特性136

1 函数的定义136

2 函数的特性136

3 复合函数与初等函数137

11.2 数列的极限139

1 数列的极限139

2 数列极限的四则运算139

11.3 函数的极限140

1 函数极限的定义140

2 函数极限的性质141

3 函数极限的运算法则141

4 两个重要极限142

11.4 无穷小量与无穷大量144

1 无穷小量与无穷大量的定义144

2 无穷小量与无穷大量的关系144

3 无穷小量与函数极限的关系145

4 无穷小量的性质145

5 无穷小量的比较145

6 等价无穷小量替换定理146

11.5 函数的连续性147

1 连续的定义147

2 函数间断点及分类148

3 连续函数的运算法则148

4 连续函数在闭区间上的性质148

11.6 典型例题149

第12章 一元函数微分学154

12.1 导数的概念154

1 导数的定义154

2 导数的几何意义156

3 可导性与连续性的关系156

12.2 导数公式与求导法则157

1 导数公式157

2 四则运算的求导法则158

3 复合函数的求导法则159

12.3 高阶导数161

12.4 微分162

1 微分的定义162

2 微分与导数的关系163

3 微分的几何意义163

4 微分基本公式和四则运算法则163

12.5 中值定理164

1 罗尔定理164

2 拉格朗日中值定理164

12.6 洛必达法则166

12.7 函数的单调性与极值168

1 函数单调性的判定法168

2 函数的极值及判断169

12.8 函数的最大值、最小值问题171

12.9 曲线的凹凸、拐点及渐近线173

1 曲线的凹凸、拐点173

2 曲线的渐近线174

12.10 典型例题175

第13章 一元函数积分学184

13.1 不定积分的概念和简单的计算184

1 原函数、不定积分的概念184

2 不定积分基本计算公式184

3 不定积分的性质185

13.2 不定积分的计算方法186

1 第一类换元法（凑微分法）186

2 第二类换元法188

3 分部积分法190

13.3 定积分的概念及性质193

1 定积分的概念193

2 定积分的几何意义193

3 定积分的性质194

13.4 微积分基本公式、定积分的计算196

1 牛顿-莱布尼茨公式196

2 变量替换法197

3 分部积分法197

13.5 定积分的应用201

13.6 典型例题202

第5部分 线性代数214

第14章 行列式214

14.1 行列式的概念与性质214

1 行列式的定义214

2 行列式的性质215

3 几个特殊的行列式217

14.2 行列式的计算218

14.3 典型例题220

第15章 矩阵225

15.1 矩阵及其运算225

1 矩阵的概念225

2 矩阵的运算226

3 方阵的行列式229

4 特殊矩阵230

15.2 可逆矩阵231

1 可逆矩阵与逆矩阵的概念231

2 矩阵可逆的充要条件231

3 可逆矩阵的性质232

15.3 矩阵的初等变换234

1 初等变换234

2 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵235

15.4 矩阵的秩237

1 矩阵的秩的概念237

2 矩阵的秩的计算237

3 矩阵运算后秩的变化238

15.5 典型例题239

第16章 向量247

16.1 n维向量247

1 n维向量的定义247

2 n维向量的线性运算247

16.2 向量组的线性相关性249

1 向量的线性组合与线性表出249

2 向量组的线性相关与线性无关250

3 其他几个有关的结论252

16.3 向量组的秩253

1 向量组的秩和最大线性无关组253

2 向量组的秩和矩阵的秩的关系254

16.4 典型例题256

第17章 线性方程组261

17.1 线性方程组的基本概念261

1 非齐次线性方程组261

2 齐次线性方程组262

17.2 求解齐次线性方程组262

1 齐次线性方程组有非零解的条件262

2 齐次线性方程组解的性质263

3 齐次线性方程组解的结构、基础解系263

4 消元法解齐次线性方程组263

17.3 求解非齐次线性方程组266

1 非齐次线性方程组有解的条件266

2 非齐次线性方程组解的性质和结构266

3 消元法解非齐次线性方程组267

17.4 典型例题270

第18章 矩阵的特征值和特征向量276

18.1 特征值和特征向量的基本概念276

1 特征值和特征向量的定义276

2 特征值和特征向量的计算276

3 特征值和特征向量的性质278

18.2 矩阵的相似对角化问题280

1 相似矩阵的定义280

2 相似矩阵的性质280

3 矩阵对角化的条件和方法281

18.3 典型例题285

2011年GCT数学基础能力测试题292

2011年GCT数学基础能力测试题答案296

附录A 初等数学中的一些重要公式297

附录B 微积分中的一些常用公式300