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第1章 绪论1

1.1 数值计算方法的研究对象和特点1

1.2 数值计算的误差2

1.2.1 误差的来源2

1.2.2 误差与有效数字3

1.2.3 函数求值的误差估计4

1.2.4 计算机中数的表示6

1.3 数值稳定性和要注意的若干原则6

1.3.1 数值方法的稳定性6

1.3.2 避免有效数字的损失8

1.3.3 减少运算次数9

1.4 向量和矩阵的范数10

1.4.1 向量的范数10

1.4.2 矩阵的范数13

评注17

习题117

数值试验题119

第2章 插值法21

2.1 Lagrange插值多项式21

2.1.1 多项式插值问题21

2.1.2 Lagrange插值多项式22

2.1.3 插值余项23

2.2 逐次线性插值法25

2.2.1 逐次线性插值思想25

2.2.2 Aitken算法27

2.3 Newton插值多项式28

2.3.1 均差及其性质28

2.3.2 Newton插值公式30

2.3.3 差分和等距节点插值公式32

2.4 Hermite插值多项式36

2.5 分段低次插值38

2.5.1 多项式插值的问题38

2.5.2 分段线性插值39

2.5.3 分段3次Hermite插值41

2.6 3次样条插值42

2.6.1 3次样条插值函数的概念42

2.6.2 三弯矩算法43

2.6.3 三转角算法46

2.6.4 3次样条插值函数的误差估计49

评注49

习题250

数值试验题252

第3章 函数的最佳逼近53

3.1 正交多项式53

3.1.1 离散点集上的正交多项式53

3.1.2 连续区间上的正交多项式54

3.2 连续函数的最佳逼近58

3.2.1 连续函数的最佳平方逼近58

3.2.2 连续函数的最佳一致逼近61

3.3 离散数据的曲线拟合63

3.3.1 最小二乘拟合63

3.3.2 多项式拟合64

3.3.3 正交多项式拟合67

评注69

习题370

数值试验题371

第4章 数值积分和数值微分72

4.1 Newton-Cotes求积公式73

4.1.1 插值型求积法73

4.1.2 Newton-Cotes求积公式74

4.1.3 Newton-Cotes公式的误差分析76

4.2 复化求积公式78

4.2.1 复化梯形求积公式79

4.2.2 复化Simpson求积公式80

4.2.3 变步长求积法82

4.3 外推原理与Romberg求积法84

4.3.1 外推原理84

4.3.2 Romberg求积法85

4.4 Gauss求积公式87

4.4.1 Gauss求积公式的基本理论87

4.4.2 常用Gauss求积公式90

4.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性93

4.5 数值微分94

4.5.1 插值型求导公式95

4.5.2 3次样条求导96

4.5.3 数值微分的外推算法97

评注98

习题499

数值试验题4100

第5章 线性方程组的直接解法102

5.1 Gauss消去法102

5.1.1 Gauss消去法的计算过程102

5.1.2 矩阵的三角分解105

5.1.3 主元素消去法108

5.1.4 Gauss-Jordan消去法111

5.2 直接三角分解方法113

5.2.1 一般矩阵的直接三角分解法113

5.2.2 三对角方程组的追赶法117

5.2.3 平方根法119

5.3 方程组的性态与误差估计121

5.3.1 矩阵的条件数121

5.3.2 方程组解的误差估计124

评注126

习题5127

数值试验题5129

第6章 线性方程组的迭代解法131

6.1 基本迭代方法131

6.1.1 迭代公式的构造131

6.1.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法132

6.2 迭代法的收敛性134

6.2.1 一般迭代法的收敛性134

6.2.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性138

6.3 超松弛迭代法141

6.4 分块迭代法144

评注145

习题6145

数值试验题6147

第7章 非线性方程和方程组的数值解法149

7.1 方程求根的二分法149

7.2 一元方程的不动点迭代法151

7.2.1 不动点迭代法及其收敛性151

7.2.2 局部收敛性和加速收敛法155

7.3 一元方程的常用迭代法159

7.3.1 Newton迭代法159

7.3.2 割线法与抛物线法161

7.4 非线性方程组的数值解法164

7.4.1 非线性方程组的不动点迭代法164

7.4.2 非线性方程组的Newton法168

7.4.3 非线性方程组的拟Newton法170

评注173

习题7173

数值试验题7175

第8章 矩阵特征值问题的数值解法177

8.1 特征值问题的性质与估计177

8.2 幂法和反幂法178

8.2.1 幂法和加速方法178

8.2.2 反幂法和原点位移181

8.3 Jacobi方法184

8.4 QR算法188

8.4.1 化矩阵为Hessenberg形188

8.4.2 QR算法及其收敛性192

8.4.3 带原点位移的QR算法196

评注198

习题8199

数值试验题8201

第9章 常微分方法的数值解法202

9.1 Euler方法202

9.1.1 Euler方法及其有关的方法202

9.1.2 局部误差和方法的阶205

9.2 Runge-Kutta方法207

9.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想207

9.2.2 几类显式Runge-Kutta方法209

9.3 单步法的收敛性和稳定性212

9.3.1 单步法的收敛性212

9.3.2 单步法的稳定性214

9.4 线性多步法216

9.4.1 基于数值积分的方法216

9.4.2 基于Taylor展开的方法218

9.4.3 预估—校正算法222

9.5 一阶方程组的数值解法224

9.5.1 一阶方程组和高阶方程224

9.5.2 刚性方程组226

9.6 边值问题的数值解法228

9.6.1 打靶法229

9.6.2 差分法232

9.6.3 差分问题的收敛性234

评注236

习题9237

数值试验题9239

习题答案241

参考文献247