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第1章 行列式1

1.1 2阶行列式与3阶行列式1

1.2 排列6

1.3 n阶行列式10

1.4 行列式的性质15

1.5 行列式按行（列）展开与拉普拉斯（Laplace）定理27

1.6 克拉默（Cramer）法则42

阅读材料 应用：两种商品的市场均衡模型49

探究与发现 “杨辉三角形”中的行列式问题52

章课题 斐波那契行列式序列53

复习题54

第2章 线性方程组60

2.1 消元法60

2.2 n维向量空间Rn76

2.2.1 n维向量及其线性运算77

2.2.2 向量的线性相关性78

2.3 矩阵的秩93

2.4 线性方程组的解103

2.4.1 解的判定103

2.4.2 解的结构108

阅读材料 《九章 算术》方程术120

阅读与思考 应用：单臂直流电桥的原理121

探究与发现 CT图像重建的联立方程法123

章课题 行秩等于列秩的直接证明127

复习题128

第3章 矩阵134

3.1 矩阵的运算134

3.2 矩阵的逆153

3.3 初等矩阵160

3.4 矩阵的等价169

3.5 矩阵的分块172

阅读材料 应用：马尔可夫型决策184

阅读与思考 矩阵的三角分解（LU分解）189

探究与发现 帕斯卡（Pascal）矩阵192

章课题 分块矩阵的行列式195

复习题197

第4章 矩阵的对角化202

4.1 相似矩阵202

4.2 特征值与特征向量204

4.3 矩阵可对角化的条件210

4.4 实对称矩阵217

4.4.1 向量内积与正交矩阵218

4.4.2 实对称矩阵的对角化228

4.5 若尔当标准形介绍232

4.5.1 复数特征值232

4.5.2 若尔当标准形与哈密顿-凯莱定理234

阅读材料 严格对角占优矩阵239

阅读与思考 离散线性动态系统243

探究与发现 特征值与特征向量的直接求法250

章课题 马尔可夫链的稳定性254

复习题256

第5章 二次型261

5.1 数域261

5.2 二次型及其矩阵表示264

5.3 二次型的标准形269

5.3.1 配方法269

5.3.2 初等变换法274

5.3.3 复数域和实数域上的二次型276

5.3.4 正交替换法281

5.4 正定二次型283

阅读材料 应用：最优化问题290

探究与发现 化n元二次型为标准形的一些问题297

章课题 多元二次函数的最值302

复习题303

第6章 线性空间307

6.1 线性空间的定义307

6.2 基、维数和坐标313

6.3 线性子空间326

6.4 映射线性空间的同构344

6.5 线性空间上的函数353

6.6 对偶空间358

阅读材料 等价关系360

探究与发现 关于2阶矩阵的特征向量的一个简单性质363

章课题 半幻方矩阵与幻方矩阵365

复习题366

第7章 线性变换369

7.1 线性变换的定义369

7.2 线性变换的矩阵373

7.3 线性变换的运算380

7.4 线性变换的值域与核386

7.5 线性变换的特征值与特征向量393

7.5.1 特征值与特征向量393

7.5.2 线性变换的可对角化条件397

7.6 线性变换的不变子空间400

7.7 若尔当基定理405

阅读材料 应用：动画制作中的图形变换415

阅读与思考 广义特征向量的直接求法419

章课题 矩阵的克罗内克（Kronecker）积433

复习题435

第8章 多项式439

8.1 一元多项式439

8.2 整除的概念441

8.2.1 带余除法442

8.2.2 整除的概念与性质444

8.3 最大公因式447

8.4 多项式的因式分解454

8.4.1 不可约多项式454

8.4.2 因式分解定理456

8.5 重因式460

8.6 多项式的根464

8.6.1 多项式函数464

8.6.2 多项式的根465

8.7 复系数与实系数多项式的因式分解467

8.8 有理数域上多项式471

8.9 多元多项式479

8.9.1 多元多项式及其运算479

8.9.2 对称多项式485

阅读与思考 三等分角问题489

章课题 多项式方程的轮换矩阵解法496

复习题498

第9章 λ-矩阵502

9.1 λ-矩阵及其标准形502

9.2 不变因子509

9.3 矩阵相似的条件512

9.4 初等因子515

9.5 若尔当标准形与矩阵的最小多项式519

探究与发现 在数域C，R上的幂么矩阵的分类527

章课题 低秩矩阵的特征多项式和最小多项式530

复习题532

第10章 欧几里得空间536

10.1 欧几里得空间定义及基本性质536

10.2 欧氏子空间正交补546

10.3 正交变换550

10.4 对称变换554

10.5 酉空间557

阅读与思考 矩阵的奇异值分解与数字图像压缩技术562

章课题 矩阵的上核与上值域569

复习题570

附录 MATLAB使用简介573

习题答案与提示579

索引620

参考文献625