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第1章 非线性泛函分析的一些基本理论1

1.1基本定义1

1.1.1连续和全连续算子1

1.1.2 F r6chet和Gateaux微分1

1.1.3抽象函数的积分与微分2

1.1.4非紧性测度3

1.2拓扑度理论4

1.2.1 Brouwer度的定义4

1.2.2 Leray-Schauder度的定义5

1.2.3 Leray-Schauder度的主要性质5

1.2.4锥上的拓扑度7

1.2.5 拓扑度的计算8

1.2.6不动点指数的计算9

1.3不动点定理10

1.3.1压缩映象原理10

1.3.2一些著名的不动点定理11

1.3.3锥上的不动点定理12

1.3.4增减算子的不动点定理14

1.3.5混合单调算子与凸凹算子不动点15

1.4变分方法16

1.4.1梯度算子与泛函的弱下半连续性17

1.4.2 弱下半连续泛函极值的存在性17

1.4.3极值与临界值的关系18

1.4.4下降流不变集与极值理论19

1.4.5极小极大原理21

参考文献23

第2章 二阶微分方程奇异边值问题的正解25

2.1二阶非共振次线性奇异Dirichlet边值问题的正解25

2.1.1二阶非共振奇异Dirichlet边值问题25

2.1.2上下解方法27

2.1.3C[0，1]和C1[0， 1]正解存在的充分必要条件31

2.2二阶非共振超线性奇异Sturm-Liouville边值问题的正解37

2.2.1二阶非共振超线性奇异Sturm-Liouville边值问题37

2.2.2 Green函数38

2.2.3超线性奇异Sturm-Liouville边值问题的正解41

2.2.4奇异Sturm-Liouville边值问题的多重正解45

2.3二阶非共振次线性奇异多点边值问题的正解50

2.3.1二阶微分方程的非共振奇异多点边值问题50

2.3.2比较定理和上下解方法51

2.3.3二阶次线性多点边值问题正解存在的充分必要条件55

2.3.4例子57

2.4二阶微分方程奇异Sturm-Liouville多点边值问题正解的存在性58

2.4.1二阶奇异Sturm-Liouville多点边值问题58

2.4.2解的积分表示60

2.4.3正解的存在性68

2.5二阶微分系统的非局部奇异边值问题的三个正解70

2.5.1二阶微分系统的非局部奇异边值问题71

2.5.2非局部边值问题解的积分表达式72

2.5.3二阶奇异微分系统三个正解的存在性74

参考文献79

第3章 四阶微分方程奇异边值问题的正解83

3.1一类四阶次线性奇异边值问题的正解83

3.1.1四阶次线性微分方程奇异边值问题83

3.1.2比较定理及应用84

3.1.3 C2[0， 1]和C3[0， 1]正解存在的充分必要条件89

3.2四阶次线性奇异m-点边值问题的上下解方法96

3.2.1四阶次线性奇异m-点边值问题96

3.2.2四阶次线性多点边值问题正解存在的充分必要条件101

3.2.3对称结果102

3.3四阶超线性奇异m-点边值问题的正解103

3.3.1四阶超线性奇异m-点边值问题103

3.3.2四阶超线性奇异m-点边值问题正解的充分必要条件104

3.3.3对称结果113

3.4带两个参数四阶边值问题的正解与多解性113

3.4.1带两个参数四阶边值问题114

3.4.2 Green函数和非线性算子的性质115

3.4.3不动点指数的计算117

3.5四阶m-点边值问题的多重变号解123

3.5.1四阶m-点边值问题的多重非平凡解123

3.5.2拓扑度的计算124

3.5.3多重变号解的存在性135

参考文献138

第4章 2n阶微分方程奇异边值问题的正解141

4.1一类2n阶次线性奇异边值问题的正解141

4.1.1 2n阶次线性微分方程的奇异边值问题141

4.1.2比较定理和上下解方法142

4.1.3 C2n-2[0， 1]和C2n-1[0， 1]正解存在的充分必要条件149

4.2 2n阶超线性奇异m-点边值问题的正解154

4.2.1 2n阶超线性奇异m-点边值问题154

4.2.2 C2n-2 [0， 1]和C2n-1[0，1]正解存在的充分必要条件155

4.2.3对称结果163

4.3 2n阶两点边值问题的多重非平凡解164

4.3.1 2n阶两点边值问题的多重非平凡解164

4.3.2解的性质166

4.4 2p阶和2q阶奇异积分边值系统的正解170

4.4.1 2p阶和2q阶奇异积分边值系统问题170

4.4.2解的积分等价表达式171

4.4.3正解的存在性180

4.4.4多重正解的存在性和正解非存在性187

4.4.5例子196

参考文献197

第5章 n阶微分方程奇异边值问题的正解199

5.1一类n阶具有各阶导数项次线性奇异边值问题的正解199

5.1.1n阶具有各阶导数项次线性奇异边值问题199

5.1.2 比较定理和上下解方法200

5.1.3 Cn-1[0， 1]正解存在的充分必要条件205

5.2 n阶奇异半正（κ， n-κ）共轭边值问题的正解209

5.2.1奇异半正（κ， n-κ）共轭m-点边值问题209

5.2.2 Green函数的性质210

5.2.3至少有一个正解的存在性218

5.3 Banach空间n阶非线性脉冲积微分方程奇异边值问题的正解219

5.3.1 Banach空间n阶非线性脉冲积微分方程奇异边值问题219

5.3.2 非线性积分算子的性质220

5.3.3正解的存在性229

参考文献232

第6章 奇异边值问题正解的确切个数235

6.1一类含有p-Laplacian算子的奇异边值问题解的确切个数235

6.1.1一类含有p-Laplacian算子的奇异边值问题235

6.1.2正解的准确个数和解的性质236

6.1.3解的积分表达函数的性质237

6.1.4奇异边值问题的正解准确个数的实现243

6.2一类p-Laplacian方程边值问题正解的确切个数和解的性质247

6.2.1含有p-Laplacian算子的二阶微分方程边值问题248

6.2.2 p-Laplacian方程边值问题正解的确切个数和解的性质248

6.2.3积分表示法250

6.2.4打靶法255

6.3具有一般非线性一维平均曲率方程正解的确切个数257

6.3.1一维平均曲率方程边值问题的正解257

6.3.2时间映射分析法259

6.3.3 正解的准确个数268

6.4非线性项f =up＋uq情形平均曲率方程正解的确切个数272

参考文献276