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目 录1

前言1

第一章函数与极限1

§1变量与函数1

§1.1变量1

§1.2函数的概念3

§1.3函数的表示法6

§1.4函数性态的简单讨论10

§1.5反函数、复合函数与初等函数11

§2极限的概念16

§2.1收敛变量17

§2.2变量的极限20

§2.3七种极限过程22

§2.4用定义求极限的几个例子26

§2.5无穷大量与无界变量31

§3极限的性质与运算法则36

§3.1极限的基本性质36

§3.2极限的四则运算39

*§3.3施笃兹定理42

§4极限存在的判别法及两个重要极限44

§4.1夹挤定理44

§4.2单调有界原理47

§4.3柯西收敛准则51

§4.4数列极限与函数极限的关系52

*§4.5数列与其子数列的极限的关系54

§5无穷小量和无穷大量的阶55

§5.1无穷小量与无穷大量阶的比较56

§5.2记号O、o和～58

§5.3主要部分与无穷小（大）量的阶数61

§6连续函数62

§6.1函数的连续性62

§6.2函数的间断点66

§6.3连续函数的运算性质及初等函数的连续性67

*§6.4一致连续性71

§6.5闭区间上的连续函数73

习题一78

第二章导数与微分86

§1 导数的概念86

§1.1几个实际例子86

§1.2导数的定义88

§1.3导数的几何意义91

§1.4用定义求导数的几个例子93

§2求导法则95

§2.1导数的四则运算96

§2.2反函数的导数98

§2.3复合函数的导数（连锁规则）100

§2.4隐函数的导数107

§2.5参数方程所表示函数的导数109

§3微分及其运算114

§3.1微分的定义与性质115

§3.2微分的运算118

§3.3微分应用于近似计算和误差估计119

§4高阶导数与高阶微分122

§4.1高阶导数的概念122

§4.2高阶导数的运算法则125

§4.3参数方程及隐函数的高阶导数126

§4.4高阶微分128

习题二130

第三章中值定理及其应用136

§1中值定理136

§1.1一个明显的几何事实136

§1.2定理的表述137

§1.3定理的证明138

§1.4两条推论141

§1.5有关定理条件的说明141

§1.6例142

§2不定式定值法144

§2.1 0/0型∞/∞型不定式145

§2.2其它型的不定式150

§3泰勒（Taylor）公式154

§3.1公式的建立154

§3.2余项的不同形式156

§3.3基本初等函数的麦克劳林展式161

§3.4几个简单的应用164

§4函数几何性质的讨论168

§4.1函数的单调性168

§4.2函数的极值172

§4.3函数的最值176

§4.4函数的凹凸与拐点181

§5 函数作图188

§5.1渐近线188

§5.2函数作图的一般步骤191

§6 曲率194

§6.1概念的引进194

§6.2曲率的计算196

§6.3密切圆与渐屈线199

习题三202

第四章不定积分208

§1不定积分的概念与性质208

§1.1原函数与不定积分的定义208

§1.2不定积分的基本公式210

§1.3不定积分的运算法则和直接积分法212

§2两个基本积分法214

§2.1换元积分法215

§2.2分部积分法224

§3有理函数的积分229

§3.1综述230

§3.2待定系数法231

§3.3例232

*§3.4奥氏法236

§4三角函数的有理式的积分239

§4.1万能代换240

§4.2整角代换241

§4.3降幂法及其它242

§5简单无理函数的积分243

§5.1形如∫R(x,？)dx(n≥2)的不定积分243

*§5.2欧拉代换245

*§5.3二项微分式的积分246

§6小结249

习题四253

第五章定积分257

§1 定积分的概念和性质257

§1.1两个实际问题257

§1.2定积分的定义261

§1.3可积性262

§1.4定积分的几何意义264

§1.5关于积分限的两条规定265

§1.6定积分的性质265

§2微积分基本定理271

*§2.1用定义计算定积分271

§2.2牛顿—莱布尼兹公式274

§3定积分的换元法与分部积分法278

§3.1定积分的换元法278

§3.2定积分的分部积分法282

§4.1微元分析法284

§4定积分的应用284

§4.2平面图形的面积286

§4.3特殊立体的体积292

§4.4曲线弧长297

§4.5定积分在物理、力学中的应用举例302

*§5定积分的近似计算305

§6广义积分的基本概念310

§6.1无穷积分310

§6.2瑕积分314

习题五317

§1数项级数323

第六章级数323

§1.1数项级数的定义及收敛性324

§1.2收敛级数的性质328

§1.3正项级数330

§1.4任意项级数338

§1.5绝对收敛级数的性质341

§2广义积分的收敛性344

§2.1无穷积分和数项级数的关系344

§2.2无穷积分的收敛性判别法345

§2.3瑕积分收敛判别法348

§2.4欧拉积分351

§3.1收敛种种355

§3函数项级数355

§3.2一致收敛性的判定358

§3.3一致收敛级数的性质，内闭一致收敛362

§4幂级数367

§4.1收敛半径367

§4.2幂级数的运算及分析性质371

§4.3函数的幂级数展开376

§5富里叶级数383

§5.1［—π,π］上的富里叶级数383

§5.2正弦级数和余弦级数391

§5.3任意区间上的富里叶级数393

*§5.4富里叶级数的逐项积分与逐项微分396

*§5.5富里叶级数的复数形式398

习题六400

第七章简单微分方程407

§1基本概念407

§2一阶微分方程的初等解法410

§2.1可分离变量的方程与齐次方程411

§2.2一阶线性方程与贝努里方程417

§2.3小结424

§3.1线性微分算子与函数的线性相关性425

§3高阶线性微分方程解的结构425

§3.2齐次线性方程通解的结构428

§3.3非齐线性方程通解的结构430

§3.4常数变易法431

§4常系数线性方程434

§4.1常系数二阶齐次线性方程434

§4.2常系数二阶线性非齐次方程436

§4.3常系数高阶线性方程解法简介439

§4.4欧拉方程442

§5高阶方程的降阶444

习题七448

上册部分习题简答453