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第1章 绪论1

1.1 数值分析1

1.2 误差2

1.2.1 误差的概念2

1.2.2 误差的来源4

1.2.3 误差的运算5

1.2.4 有效数字5

1.3 病态问题与数值稳定性6

1.3.1 病态问题6

1.3.2 数值稳定性8

1.3.3 避免误差的若干原则8

习题110

第2章 非线性方程求根12

2.1 二分法12

2.2 简单迭代法及其收敛性15

2.2.1 简单迭代法15

2.2.2 简单迭代法的收敛性17

2.2.3 简单迭代法的收敛阶20

2.2.4 迭代法的加速方法22

2.3 Newton迭代法25

2.3.1 Newton迭代格式25

2.3.2 Newton迭代法的收敛性27

2.3.3 Newton迭代法的变形29

习题232

第3章 线性代数方程组的直接解法33

3.1 线性代数方程组应用举例34

3.1.1 最小二乘拟合34

3.1.2 微分方程的数值求解问题35

3.1.3 热传导方程逆时问题36

3.2 消元法37

3.2.1 三角方程组的求解方法37

3.2.2 Gauss消元法38

3.2.3 选主元消元法45

3.2.4 消元法与矩阵分解48

3.2.5 矩阵求逆与Gauss-Jordan消元法51

3.3 矩阵的三角分解54

3.3.1 Doolittle分解54

3.3.2 Courant分解58

3.3.3 带状对角矩阵的三角分解与追赶法59

3.3.4 正定矩阵的三角分解62

习题365

第4章 向量与矩阵范数67

4.1 向量范数67

4.1.1 向量范数67

4.1.2 向量范数性质69

4.2 矩阵范数70

4.2.1 矩阵范数70

4.2.2 误差分析与矩阵的条件数75

4.2.3 矩阵序列78

习题481

第5章 线性代数方程组的迭代解法83

5.1 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法85

5.1.1 Jacobi迭代法及其收敛性85

5.1.2 Gauss-Seidel迭代及其收敛性89

5.2 松弛迭代法93

5.3 基于变分原理的迭代法97

5.3.1 最速下降法97

5.3.2 共轭梯度法99

习题5103

第6章 插值105

6.1 插值概念105

6.1.1 插值的定义105

6.1.2 插值函数的存在唯一性106

6.2 Lagrange插值108

6.2.1 线性插值和抛物线插值108

6.2.2 n次Lagrange插值多项式110

6.2.3 插值余项与误差估计112

6.3 Newton插值117

6.3.1 差商及其计算118

6.3.2 Newton插值多项式120

6.4 差分与等距节点的Newton插值123

6.4.1 差分及其性质124

6.4.2 等距节点的Newton插值多项式125

6.5 Hermite插值126

6.6 分段低次插值130

6.6.1 Runge现象130

6.6.2 分段线性插值131

6.6.3 分段三次Hermite插值132

6.7 三次样条插值133

6.7.1 三次样条函数和三次样条插值133

6.7.2 三次样条插值的m关系式135

6.7.3 三次样条插值的M关系式136

习题6140

第7章 最小二乘与函数的最佳逼近142

7.1 曲线拟合的最小二乘法142

7.1.1 曲线拟合142

7.1.2 形如aebx的曲线拟合148

7.2 正交多项式149

7.2.1 内积与正交多项式149

7.2.2 Legendre多项式152

7.2.3 Chebyshev多项式154

7.2.4 无穷区间上的正交多项式155

7.2.5 基于正交多项式的最小二乘法156

7.3 函数最佳平方逼近158

7.3.1 平方逼近158

7.3.2 最佳平方逼近多项式160

习题7162

第8章 数值积分与数值微分164

8.1 数值积分概述164

8.1.1 数值积分的概念164

8.1.2 插值型数值积分公式166

8.1.3 代数精度与待定系数法168

8.2 Newton-Cotes数值积分公式172

8.2.1 Newton-Cotes数值积分172

8.2.2 Newton-Cotes数值积分公式的代数精度和误差174

8.3 复化数值积分176

8.3.1 复化梯形公式177

8.3.2 复化Simpson公式178

8.3.3 数值积分的自适应算法181

8.4 外推方法与Romberg积分184

8.4.1 节点加密与事后误差估计184

8.4.2 外推方法186

8.4.3 Euler-Maclaurin展开187

8.4.4 Romberg积分189

8.5 Gau88型数值积分公式192

8.5.1 基本概念与性质192

8.5.2 常用的Gauss型数值积分公式198

8.6 数值微分202

8.6.1 差商型数值微分公式202

8.6.2 基于插值的数值微分方法204

8.6.3 数值微分的外推方法207

习题8208

第9章 常微分方程数值解法211

9.1 Euler方法212

9.1.1 Euler公式及其几何解释212

9.1.2 收敛性与误差分析217

9.2 Runge-Kutta方法219

9.2.1 基于Taylor展开的单步方法219

9.2.2 Runge-Kutta方法222

9.2.3 单步方法的收敛性和稳定性228

9.3 线性多步法232

9.3.1 基于数值积分的线性多步法232

9.3.2 线性多步法构造的待定系数法236

9.3.3 Adams公式237

9.4 隐式格式的迭代与预测－校正237

9.4.1 隐式差分格式的迭代237

9.4.2 隐式差分格式的预测－校正238

9.5 方程组与高阶方程的数值解法242

9.5.1 一阶方程组的数值解法242

9.5.2 高阶常微分方程的数值解法243

9.6 边值问题的数值解法244

9.6.1 常微分方程边值问题244

9.6.2 边值问题的“打靶法”246

9.6.3 直接差分方法248

习题9249

第10章 矩阵特征值的计算方法252

10.1 幂法252

10.1.1 幂法253

10.1.2 反幂法256

10.2 Householder矩阵与Givens矩阵，QR分解257

10.2.1 Householder矩阵257

10.2.2 Givens矩阵260

10.2.3 矩阵的QR分解263

10.3 Jacobi方法与Givens-Householder方法264

10.3.1 Jacobi方法264

10.3.2 Givens-Householder方法268

10.4 一般矩阵特征值的QR方法272

10.4.1 QR方法272

10.4.2 Hessenberg矩阵及其QR分解274

10.4.3 带位移的QR方法278

习题10279

第11章 三角插值与快速Fourier变换281

11.1 三角插值281

11.2 快速Fourier变换286

11.2.1 离散Fourier分析286

11.2.2 快速Fourier变换（Fast Fourier transform）288

习题11291

第12章 不适定问题与Tikhonov正则化方法293

12.1 奇异值分解293

12.2 Tikhonov正则化方法298

12.2.1 Tikhonov正则化298

12.2.2 Tikhonov正则化参数的选取方法300

12.3 数值微分的Lanczos方法303

12.3.1 一阶数值微分的Lanczos方法303

12.3.2 二阶数值微分的Lanczos方法307

12.3.3 数值实验308

12.4 一类抛物型方程源项反演309

12.4.1 问题的数学模型310

12.4.2 源项反演的正则优化方法310

12.4.3 数值实验314

12.5 重建声柔散射体的牛顿迭代法317

12.5.1 逆散射问题的数学模型318

12.5.2 基于分解方法的牛顿迭代法319

12.5.3 数值实验322

习题12323

参考文献325