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第1部分 算术2

第1章 算术2

1.1 数的概念、性质和运算2

1 数的概念2

2 数的整除2

3 数的四则运算3

4 比和比例3

1.2 应用问题举例3

1 整数和小数四则运算应用题3

2 分数与百分数应用题7

3 简单方程应用题10

4 比和比例应用题11

1.3 典型例题12

第2部分 初等代数28

第2章 数和代数式28

2.1 实数和复数28

1 实数、数轴28

2 实数的运算28

3 复数29

2.2 代数式及其运算31

1 整式及其加法与乘法31

2 因式分解31

3 整式的除法32

4 分式33

5 根式34

2.3 典型例题35

第3章 集合、映射和函数38

3.1 集合38

1 集合的概念38

2 集合的包含关系39

3 集合的基本运算39

3.2 映射和函数40

1 映射的概念40

2 函数41

3 反函数42

4 函数的单调性、奇偶性和周期性43

5 幂函数、指数函数和对数函数43

3.3 典型例题46

第4章 代数方程和简单的超越方程49

4.1 概念49

4.2 一元一次方程49

4.3 二元一次方程组49

4.4 一元二次方程的性质51

1 判别式51

2 根和系数的关系51

3 二次函数的图像和一元二次方程的根51

4.5 解一元代数方程53

1 配方法53

2 公式法53

3 分解因式法53

4.6 根的范围、方程的变换54

1 确定根所属的区间54

2 方程的变换55

4.7 典型例题56

第5章 不等式59

5.1 不等式的概念和性质59

1 不等式的概念59

2 不等式的基本性质59

3 基本的不等式59

4 解不等式60

5.2 解含绝对值的不等式61

5.3 解一元二次不等式61

5.4 利用函数的性质和图像解不等式63

5.5 典型例题64

第6章 数列、数学归纳法67

6.1 数列的基本概念67

6.2 等差数列69

6.3 等比数列71

6.4 数学归纳法72

6.5 典型例题73

第7章 排列、组合、二项式定理和古典概率77

7.1 排列和组合77

1 基本概念77

2 排列数和组合数公式77

3 例题78

7.2 二项式定理80

7.3 古典概率问题81

1 基本概念81

2 等可能事件的概率82

3 互斥事件有一个发生的概率83

4 相互独立事件同时发生的概率84

5 独立重复试验85

7.4 典型例题85

第3部分 几何与三角92

第8章 常见几何图形92

8.1 常见平面几何图形92

1 三角形92

2 四边形93

3 圆和扇形94

4 平面图形的全等和相似关系94

8.2 常见空间几何图形96

1 长方体96

2 棱柱体和圆柱体96

3 正棱锥体和正圆锥体97

4 球97

8.3 典型例题98

第9章 三角学的基本知识108

9.1 三角函数108

1 角和三角函数108

2 同角三角函数的关系109

3 诱导公式109

4 三角函数的图像和性质110

9.2 两角和与差的三角函数111

1 两角和与差公式111

2 倍角与半角公式112

9.3 解斜三角形113

9.4 反三角函数114

9.5 典型例题116

第10章 平面解析几何120

10.1 平面向量120

1 基本概念120

2 向量的加法与数乘120

3 向量的内积122

4 有向线段的定比分点122

10.2 直线123

1 直线的方向向量、倾斜角和斜率123

2 直线的方程123

3 两条直线的位置关系125

10.3 圆127

10.4 椭圆128

10.5 双曲线129

10.6 抛物线130

10.7 例题131

10.8 典型例题131

第4部分 一元函数微积分第11章 极限与连续138

11.1 函数及其特性138

1 函数的定义138

2 函数的特性138

3 复合函数与初等函数139

11.2 数列的极限141

1 数列的极限141

2 数列极限的四则运算141

11.3 函数的极限142

1 函数极限的定义142

2 函数极限的性质143

3 函数极限的运算法则143

4 两个重要极限144

11.4 无穷小量与无穷大量146

1 无穷小量与无穷大量的定义146

2 无穷小量与无穷大量的关系146

3 无穷小量与函数极限的关系147

4 无穷小量的性质147

5 无穷小量的比较147

6 等价无穷小量替换定理148

11.5 函数的连续性149

1 连续的定义149

2 函数间断点及分类150

3 连续函数的运算法则150

4 连续函数在闭区间上的性质151

11.6 典型例题151

第12章 一元函数微分学156

12.1 导数的概念156

1 导数的定义156

2 导数的几何意义158

3 可导性与连续性的关系158

12.2 导数公式与求导法则159

1 导数公式159

2 四则运算的求导法则160

3 复合函数的求导法则161

12.3 高阶导数163

12.4 微分165

1 微分的定义165

2 微分与导数的关系165

3 微分的几何意义165

4 微分基本公式和四则运算法则165

12.5 中值定理167

1 罗尔定理167

2 拉格朗日中值定理167

12.6 洛必达法则168

12.7 函数的单调性与极值171

1 函数单调性的判定法171

2 函数的极值及判断172

12.8 函数的最大值、最小值问题174

12.9 曲线的凹凸、拐点及渐近线175

1 曲线的凹凸、拐点175

2 曲线的渐近线177

12.10 典型例题177

第13章 一元函数积分学187

13.1 不定积分的概念和简单的计算187

1 原函数、不定积分的概念187

2 不定积分基本计算公式187

3 不定积分的性质188

13.2 不定积分的计算方法189

1 第一类换元法（凑微分法）189

2 第二类换元法191

3 分部积分法193

13.3 定积分的概念及性质196

1 定积分的概念196

2 定积分的几何意义196

3 定积分的性质197

13.4 微积分基本公式、定积分的计算199

1 牛顿-莱布尼茨公式199

2 变量替换法200

3 分部积分法200

13.5 定积分的应用204

13.6 典型例题205

第5部分 线性代数218

第14章 行列式218

14.1 行列式的概念与性质218

1 行列式的定义218

2 行列式的性质219

3 几个特殊的行列式221

14.2 行列式的计算222

14.3 典型例题224

第15章 矩阵229

15.1 矩阵及其运算229

1 矩阵的概念229

2 矩阵的运算230

3 方阵的行列式234

4 特殊矩阵234

15.2 可逆矩阵235

1 可逆矩阵与逆矩阵的概念235

2 矩阵可逆的充要条件236

3 可逆矩阵的性质237

15.3 矩阵的初等变换238

1 初等变换238

2 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵239

15.4 矩阵的秩241

1 矩阵的秩的概念241

2 矩阵的秩的计算242

3 矩阵运算后秩的变化242

15.5 典型例题243

第16章 向量251

16.1 n维向量251

1 n维向量的定义251

2 n维向量的线性运算251

16.2 向量组的线性相关性253

1 向量的线性组合与线性表出253

2 向量组的线性相关与线性无关254

3 其他几个有关的结论256

16.3 向量组的秩257

1 向量组的秩和最大线性无关组257

2 向量组的秩和矩阵的秩的关系258

16.4 典型例题260

第17章 线性方程组266

17.1 线性方程组的基本概念266

1 非齐次线性方程组266

2 齐次线性方程组267

17.2 求解齐次线性方程组267

1 齐次线性方程组有非零解的条件267

2 齐次线性方程组解的性质268

3 齐次线性方程组解的结构、基础解系268

4 消元法解齐次线性方程组268

17.3 求解非齐次线性方程组271

1 非齐次线性方程组有解的条件271

2 非齐次线性方程组解的性质和结构272

3 消元法解非齐次线性方程组272

17.4 典型例题275

第18章 矩阵的特征值和特征向量281

18.1 特征值和特征向量的基本概念281

1 特征值和特征向量的定义281

2 特征值和特征向量的计算281

3 特征值和特征向量的性质283

18.2 矩阵的相似对角化问题285

1 相似矩阵的定义285

2 相似矩阵的性质285

3 矩阵对角化的条件和方法286

18.3 典型例题290

2010年GCT数学基础能力测试题297

2010年GCT数学基础能力测试题答案301

附录A 初等数学中的一些重要公式302

附录B 微积分中的一些常用公式305