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第一部分 笛卡儿坐标、向量、线性变换1

第一章 平面上和空间中的笛卡儿坐标和向量。二阶和三阶矩阵的几何1

第一篇 笛卡儿坐标和向量：仿射关系1

1 坐标轴、平面上和空间中的笛卡儿坐标1

1．坐标轴1

2．平面上的笛卡儿坐标2

3．平面上的右和左坐标系统3

4．空间中的笛卡儿坐标4

5．空间中的右和左坐标系统6

6．一般的笛卡儿坐标、斜角坐标和直角坐标6

2 向量，它们的加法、减法和乘上数量的乘法7

1．向量，作为有顺序的点偶或者有方向的线段7

2．向量的相等7

3．自由向量8

4．共线和共面向量9

5．向量乘上数量的乘法9

6．向量的加法和减法10

7．向量的线性组合11

3 笛卡儿坐标的向量引进法11

1．直线上向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法12

2．平面上向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法12

3．空间中向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法14

4．一般的笛卡儿坐标，斜角坐标和直角坐标。基本的坐标平行四边形和基本的坐标平行六面体15

4 直线上的向量16

1．直线上向量乘上数量的乘积的坐标16

2．直线上向量的和以及差的坐标16

3．直线上向量的任意线性组合的坐标17

4．直线上向量的代数系统和实数的代数系统的同构18

5 平面上和空间中的射影，向量的线性组合的射影18

1．到直线上的正射影18

2．到直线上平行於任意直线或者平面的射影18

3．到平面上的射影19

4．关於向量射影的引理19

5．向量的任意线性组合的射影20

6 向量的线性组合的坐标，向量加法和向量乘上数量的乘法的基本法则21

1．向量在坐标轴上射影的数值21

2．向量的线性组合的坐标21

3．平面上或者空间中向量的代数系统和有顺序的实数偶或者实数三位的代数系统的同构22

4．向量加法和向量乘上数量的乘法的基本法则22

5．附言23

6．两个向量共线和三个点共线的检验法23

7 变成新的笛卡儿坐标的变换24

1．任意笛卡儿坐标的变换公式25

2．平面上直角坐标的变换公式26

第二篇 笛卡儿坐标和向量：度量关系27

8 向量在轴线上的正射影28

1．两个方向中间的角28

2．向量在轴线上的正射影的数值28

9 数量乘积29

1．数量乘积的定义和基本的几何性质29

2．数量乘积和向量在轴线上的正射影30

3．数量乘积的基本的代数性质31

10 标架的度量规定法32

1．参数32

2．在结晶学里所采用的标架的度量参数32

3．标架的基本的度量参数33

4．标架的度量矩阵34

5．标架参数的必要和充分的条件35

11 基本的度量公式36

1．平面上标架的双线性度量形式36

2．空间中标架的双线性度量形式37

3．标架的二次度量形式38

4．向量长度和两个向量中间的角利用标架的二次形式和双线性形式表示的式子39

5．在直角坐标里关於数量乘积、向量长度和两个向量中间的角的公式40

6．方向余弦41

12 对偶标架、反变和共变坐标41

1．平面上和空间中的对偶标架42

2．给了两个向量对於对偶的两个标架的坐标，求它们的数量乘积的公式43

3．反变和共变坐标44

第三篇 关於坐标的基本问题45

13 两个点中间的距离45

1．坐标轴上两个点中间的距离45

2．在直角坐标里，平面或者空间的两个点中间的距离45

3．在一般的笛卡儿坐标里，平面或者空间的两个点中间的距离46

14 分线段成已知比值47

1．分线段成内分和外分比值47

2．分线段成已知比值的点，关於它的坐标的公式48

3．线段中点的坐标50

4．附言50

15 重心51

1．平行力组的合力所作用的点51

2．质点组的重心52

16 三角形和多角形的面积53

1．在直角坐标里三角形的面积53

2．平面上有向多角形的概念55

3．关於面积遮盖的引理55

4．在直角坐标里多角形的面积58

5．在一般的笛卡儿坐标里多角形的面积59

17 平面面积计60

第四篇 二阶和三阶矩阵的几何61

18 二阶和三阶行列式的几何意义61

1．平面上作在有序向量偶上的平行四边形的面积和空间中作在有序向量三位上的平行六面体的体积61

2．记号（a,b）和（a,b,c）的主要性质62

3．二阶行列式，作为平面上作在有序向量偶上的平行四边形面积的比值64

4．三阶行列式，作为作在有序向量三位上的平行六面体体积的比值65

5．在直角坐标里三角形的面积和四面体的体积68

6．三个点在一条直线上和四个点在一个平面上的必要和充分的条件68

19 行列式运算的法则69

1．矩阵，按行和列作为向量组69

2．行列式的基本性质69

3．行列式元素的代数补余式，按一排的元素展开行列式71

20 张在向量上的空间，向量的线性相关，矩阵的秩数72

1．张在向量上的空间72

2．向量的线性相关73

3．空间的维数和线性无关向量的个数73

4．张在向量上的空间的维数和向量矩阵的秩数74

21 线性方程组76

1．有三个未知数的一组三个一次方程，作为沿着三个向量去分解向量的问题76

2．克拉磨公式78

3．有三个未知数的一组三个齐次一次方程，作为求与三个已知向量正交的向量的问题80

4．有三个未知数的一组两个齐次一次方程80

22 向量乘积81

1．空间中的有向平面段·二重向量81

2．自由二重向量82

3．向量乘积83

4．三个向量的混合乘积83

5．向量乘积的直角坐标85

6．向量乘积的基本性质86

7．空间中三角形的面积87

8．关於对偶标架的向量的公式88

第二章　正交映射和仿射映射89

23　引言89

1．变换在几何学中的意义89

2．映射90

3．变换的乘法91

4．变换的乘积对於因子次序的依赖性91

5．群的概念92

6．关於变换群93

第一篇　正交映射的几何理论93

24　正交映射的定义和最简单的性质93

1．运动93

2．反射94

3．正交映射94

4．关於正交映射的基本引理95

25　关於正交映射的第一基本定理98

26　关於正交变换的第二基本定理99

1．第一种和第二种正交变换99

2．关於正交变换的第二基本定理101

3．正交变换几何的若干进一步的结果102

第二篇　仿射映射的几何理论103

27　仿射映射的定义和最简单的性质103

1．仿射映射103

2．压缩104

3．关於仿射映射的引理106

28а　简单比值作为仿射映射的不变量（第一种讲法）107

1．关於线段中点的引理107

2．达布引理108

3．简单比值的不变性110

28б　简单比值作为仿射映射的不变量（第二种讲法）111

1．函数方程f（x+y）＝f（x）＋f（y）111

2．实数域的一个代数性质113

3．简单比值的不变性115

29　关於仿射映射的第一基本定理117

30　关於仿射映射的第二基本定理119

1．关於仿射映射的第二基本定理119

2．在平面仿射映射下面积的改变和在空间仿射变换下体积的改变122

3．在仿射映射下长度的改变122

31　若干特殊的仿射映射123

1．同位相似123

2．相似124

3．错切125

第三篇　线性变换126

32　仿射映射126

1．仿射映射的定义126

2．仿射映射的基本性质128

3．变积系数，第一种和第二种的仿射变换129

4．在仿射映射下，任意平面图形的面积和任意空间体的体积的改变131

5．仿射变换乘积的变积系数132

6．正交映射132

7．仿射变换群和它的若干子群133

33　仿射变换，作为行列式不等於零的线性变换135

1．仿射变换的公式135

2．仿射变换作为行列式不零等於的线性变换136

3．退化的线性变换138

4．非退化的线性变换的两重解释139

34　齐次线性变换，行列式不等於零的正方矩阵的群140

1．齐次线性变换140

2．行列式不等於零的正方矩阵的几何意义141

3．齐次线性变换的乘法和正方矩阵的乘法141

4．行列式不等於零的正方矩阵的群143

5．矩阵乘积的行列式144

6．矩阵的转置和它与矩阵相乘的关系145

7．对於原标架逐次的像而言，仿射变换乘积的矩阵146

8．在变到新的坐标标架时，仿射变换矩阵的改变147

9．带三个未知数的三个线性方程的组，作为求在有已知矩阵的仿射变换下变成已知向量的向量的问题149

35　正交矩阵149

1．正交矩阵的定义149

2．正交关系150

3．正交矩阵，作为保留变数的平方和不变的齐次线性变换的矩阵152

36　欧拉角154

索引157