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第1章 预备知识1

1.1 集合1

1．集合的概念1

2．集合的运算2

1.2 实数集4

1．实数与数轴4

2．实数的绝对值4

3．区间与邻域5

1.3 映射6

1．映射的概念6

2．几种特殊映射7

1.4 函数8

1．函数的概念8

2．函数的几种特性11

1．反函数13

1.5 反函数与复合函数13

2．复合函数15

1.6 初等函数15

1．基本初等函数15

2．初等函数19

实验空间 数学实验简介22

复习题一24

第2章 极限与连续27

2.1 数列的极限27

1．数列极限的定义27

2．收敛数列的性质30

习题2-132

2.2 函数的极限33

1．函数极限的定义33

2．函数极限的性质38

1．无穷小39

习题2-239

2.3 无穷小与无穷大39

2．无穷大41

3．无穷小与无穷大的关系42

习题2-342

2.4 极限的运算法则43

1．极限的四则运算法则43

2．复合函数的极限法则47

习题2-448

2.5 极限存在准则 两个重要极限49

1．极限存在准则Ⅰ与重要极限？49

2．极限存在准则Ⅱ与重要极限？51

3．柯西收敛原理54

2.6 无穷小的比较55

1．无穷小阶的定义55

习题2-555

2．等价无穷小的性质57

3．无穷小的主部58

实验空间 用MATLAB求极限59

习题2-660

2.7 函数的连续性60

1．函数连续的定义60

2．函数的间断点63

习题2-764

2.8 连续函数的运算法则与初等函数的连续性65

1．连续函数的运算法则65

2．初等函数的连续性65

3．连续性在极限计算中的应用66

考研园地 用重要极限求极限67

1．最大值最小值定理68

习题2-868

2.9 闭区间上连续函数的性质68

2．介值定理与零点定理69

习题2-970

复习题二71

第3章 导数与微分73

3.1 导数的概念73

1．导数的定义73

2．求导数举例76

3．单侧导数78

考研园地 求单侧导数79

4．导数的几何意义79

考研园地 切线问题80

5．可导与连续的关系80

习题3-181

1．函数的和、差、积、商的求导法则82

3.2 函数的求导法则82

2．反函数的求导法则85

3．复合函数的求导法则86

4．初等函数的导数88

习题3-290

3.3 隐函数及参数方程所确定的函数的导数相关变化率91

1．隐函数的导数91

2．参数方程所确定的函数的导数93

3．相关变化率94

习题3-395

3.4 高阶导数96

考研园地 求导问题99

实验空间 用MATLAB求函数的导数100

习题3-4101

1．微分的定义102

3.5 函数的微分102

2．微分的几何意义104

3．微分基本公式与法则104

4．微分在近似计算中的应用106

习题3-5109

复习题三111

第4章 中值定理与导数的应用113

4.1 中值定理113

1．罗尔（Rolle）定理113

2．拉格朗日（Lagrange）定理114

3．柯西（Cauchy）定理117

考研园地 用拉格朗日定理求证118

习题4-1118

1．未定式？型的极限求法119

4.2 洛必达法则119

2．未定式？型的极限求法121

3．其他类型的未定式极限的求法122

考研园地 用洛必达法则求极限123

习题4-2123

4.3 泰勒公式124

1．泰勒公式124

2．泰勒公式的应用127

考研园地 泰勒公式的应用129

习题4-3130

4.4 函数单调性的判别法130

考研园地 用单调性证明不等式132

习题4-4133

4.5 函数的极值133

1．函数极值的定义133

2．函数极值的判定和求法134

习题4-5137

考研园地 极值问题137

4.6 函数的最大值和最小值138

考研园地 用最大值和最小值证明不等式140

实验空间 用MATLAB求函数的最大值和最小值140

习题4-6140

4.7 函数的凹凸性与拐点141

习题4-7144

4.8 函数图形的描绘144

1．曲线的渐近线144

2．函数图形的描绘146

考研园地 函数的图形问题148

实验空间 用MATLAB作函数的图形149

习题4-8149

1．弧微分150

4.9 曲率150

2．曲率及其计算公式152

3．曲率圆和曲率半径154

习题4-9155

复习题四156

第5章 不定积分158

5.1 不定积分的概念158

1．原函数的概念158

2．不定积分的定义159

3．不定积分的几何意义160

习题5-1161

5.2 不定积分的基本公式和运算法则162

1．不定积分的基本公式162

2．不定积分的运算法则164

习题5-2165

1．第一类换元积分法166

5.3 换元积分法166

2．第二类换元积分法169

习题5-3174

5.4 分部积分法174

考研园地 求不定积分问题179

习题5-4179

5.5 几种初等函数的积分179

1．有理函数的积分179

2．三角函数有理式的积分举例184

考研园地 有理三角函数的不定积分186

实验空间 用MATLAB求不定积分186

习题5-5187

复习题五187

1．两个实例189

第6章 定积分及其应用189

6.1 定积分的概念与性质189

2．定积分的定义191

3．定积分的几何意义193

4．定积分的性质194

考研园地 用定积分的几何意义解题198

习题6-1198

6.2 微积分基本公式199

1．积分上限的函数及其导数199

考研园地 关于变限积分的问题201

2．微积分基本公式201

习题6-2203

6.3 定积分的换元积分法与分部积分法204

1．定积分的换元积分法204

2．定积分的分部积分法207

考研园地 用定积分的换元法解题207

考研园地 用定积分的分部积分法解题209

习题6-3210

6.4 广义积分211

1．无限区间上的广义积分211

考研园地 广义积分问题213

2．无界函数的广义积分213

3．Г函数215

实验空间 用MATLAB求定积分和广义积分217

习题6-4218

6.5 定积分在几何上的应用219

1．平面图形的面积219

2．空间立体的体积222

3．平面曲线的弧长225

考研园地 定积分的几何应用问题227

习题6-5228

6.6 定积分在物理上的应用229

1．功229

2．液体的压力231

考研园地 定积分的物理应用问题232

习题6-6233

复习题六233

第7章 微分方程235

7.1 微分方程的概念235

习题7-1238

7.2 可分离变量的微分方程239

习题7-2244

7.3 齐次方程244

1．齐次方程及其解法244

2．可化为齐次方程的微分方程247

1．一阶线性微分方程249

习题7-3249

7.4 一阶线性微分方程249

2．伯努利方程254

考研园地 伯努利方程的求解问题255

习题7-4255

7.5 可降阶的二阶微分方程256

1．y″=f（x,y′）型的微分方程256

2．y″=f（y,y′）型的微分方程258

考研园地 微分方程应用题259

习题7-5260

7.6 线性微分方程解的结构260

1．二阶线性微分方程解的结构260

2．n阶线性微分方程解的结构262

习题7-6263

1．二阶常系数齐次线性微分方程264

7.7 常系数线性微分方程264

2．n阶常系数齐次线性微分方程270

习题7-7271

7.8 常系数非齐次线性微分方程271

考研园地 二阶线性微分方程的求解问题276

习题7-8278

7.9 欧拉方程278

习题7-9281

7.10 常系数线性微分方程组解法举例281

实验空间 用MATLAB求解微分方程283

习题7-10284

复习题七285

附录一 MATLAB常用函数表287

附录二 部分数学词汇汉英对照289

附录三 本书出现的部分数学家简介290

部分习题的答案或提示292