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第零章 微积分中的数学思想概述1

0.1 微积分的起源1

0.1.1 无法回避的无穷1

0.1.2 微积分的前身：解析几何3

0.2 极限的思想4

0.2.1 数列极限和数项级数的收敛性5

0.2.2 代表离散和连续的两种无穷量6

0.2.3 函数的极限7

0.3 微积分的一般思想：化整为零和从局部入手9

0.3.1 化整为零：整体问题分解为局部问题9

0.3.2 在局部以直代曲的思想13

0.4 联系微分学和积分学的枢纽：牛顿－莱布尼茨公式15

0.5 幂级数：函数的一种统一的解析表示形式15

0.6 解析几何中的数形结合思想——空间坐标系17

0.7 对付高维空间问题的利器：降维法19

0.7.1 直接分解降维法19

0.7.2 向量分解降维法20

0.8 化曲为直的思想22

0.8.1 参数方程的妙用22

0.8.2 坐标变换：换个角度看问题23

0.9 高维空间中的微积分基本定理23

0.9.1 格林公式和高斯公式24

0.9.2 第二类曲线积分的路径无关性24

第一部分 复变函数论29

第一章 复数与复变函数29

1.1 复数29

1.1.1 复数及其基本代数运算29

1.1.2 复数的几何意义31

1.1.3 复数的模与辐角34

1.1.4 复数的乘幂与方根39

1.1.5 共轭复数41

1.1.6 复球面与无穷远点42

1.2 复变函数的基本概念45

1.2.1 复变函数的概念45

1.2.2 复平面上的曲线和区域47

1.2.3 复变函数的几何意义51

1.2.4 复变函数的极限和连续性52

习题一56

第二章 解析函数60

2.1 解析函数的概念60

2.1.1 复变函数的导数与微分60

2.1.2 解析函数63

2.1.3 函数解析的充要条件64

2.2 初等解析函数70

2.2.1 初等单值函数70

2.2.2 初等多值函数74

2.2.3 一般多值函数的支点和支割线以及黎曼曲面简介80

习题二83

第三章 ……复变函数的积分85

3.1 复积分的概念和性质86

3.2 柯西积分定理90

3.2.1 柯西积分定理90

3.2.2 原函数和牛顿－莱布尼茨公式92

3.2.3 复周线情形的柯西积分定理94

3.3 柯西积分公式及其推论96

3.3.1 柯西积分公式97

3.3.2 解析函数的无穷可导性98

3.3.3 莫勒拉定理101

3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理101

3.4 解析函数与调和函数之间的关系103

3.5 解析函数的物理意义105

3.5.1 平面向量场和复位势105

3.5.2 复位势在流体力学中的应用109

3.5.3 复位势在静电场中的应用110

习题三112

第四章 解析函数的级数展式116

4.1 复级数的基本性质116

4.1.1 复数项级数116

4.1.2 一致收敛的函数项级数119

4.2 幂级数124

4.2.1 幂级数的敛散性124

4.2.2 幂级数的运算性质128

4.3 解析函数的泰勒展式130

4.3.1 解析函数的泰勒展开定理130

4.3.2 一些初等函数的泰勒展式133

4.3.3 解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理135

4.3.4 解析延拓和Г函数138

4.4 解析函数的洛朗展式140

4.4.1 洛朗级数141

4.4.2 解析函数的洛朗展式143

4.4.3 洛朗展式的例子145

4.5 解析函数的孤立奇点148

4.5.1 孤立奇点的分类及性质148

4.5.2 解析函数在无穷远点的性质152

4.5.3 整函数与亚纯函数的概念154

习题四155

第五章 留数及其应用159

5.1 留数159

5.1.1 留数的概念和留数定理159

5.1.2 留数的计算160

5.1.3 函数在无穷远点的留数163

5.2 利用留数定理计算实积分166

5.2.1 计算∫？R（cosθ，sinθ）dθ型的三角有理函数积分167

5.2.2 计算∫？dx型的有理函数积分168

5.2.3 计算∫？eiλx dx型积分170

5.2.4 计算积分路径上有奇点的积分172

5.3 辐角原理和儒歇定理173

习题五176

第六章 共形映射178

6.1 单叶解析函数的映射性质179

6.1.1 单叶解析函数的映射性质179

6.1.2 导数的几何意义182

6.1.3 二维拉普拉斯方程在解析映射下的不变性184

6.2 分式线性变换187

6.2.1 分式线性变换的定义及分解187

6.2.2 分式线性变换的保交比性188

6.2.3 分式线性变换的保圆周性190

6.2.4 分式线性变换的保对称点性192

6.2.5 分式线性变换的应用193

6.3 某些初等函数所构成的共形映射195

6.3.1 幂函数与根式函数195

6.3.2 指数函数与对数函数198

6.3.3 两角形区域的共形映射199

习题六201

第二部分 数学物理方程204

符号说明表204

第七章 数学物理方程的导出和基本概念205

7.1 数学物理方程的导出205

7.1.1 弦振动方程206

7.1.2 热传导方程209

7.1.3 拉普拉斯方程和泊松方程211

7.2 数学物理方程的一般概念212

7.2.1 一些基本概念212

7.2.2 偏微分方程的通解213

7.2.3 定解条件217

7.3 定解问题221

7.3.1 定解问题的概念和分类221

7.3.2 定解问题的适定性224

7.4 线性函数空间和线性算子225

7.4.1 线性函数空间226

7.4.2 傅里叶级数和L2［a，b］空间233

7.4.3 线性算子和线性叠加原理238

7.5 二阶线性常系数偏微分方程的分类和化简250

7.5.1 两个自变量的二阶线性常系数偏微分方程的分类和化简250

7.5.2 一般二阶常系数线性偏微分方程的分类258

习题七260

第八章 分离变量法263

8.1 有界弦的自由振动263

8.1.1 分离变量法264

8.1.2 形式解、古典解和广义解268

8.1.3 级数形式解的物理意义272

8.2 有界杆的热传导问题273

8.3 正则施图姆－刘维尔特征值问题276

8.3.1 施图姆－刘维尔特征值问题的引出276

8.3.2 正则施图姆－刘维尔特征值问题及其结论277

8.3.3 分离变量法和特征函数展开法280

8.4 非齐次定解问题的处理284

8.4.1 非齐次方程的定解问题：特征函数展开法284

8.4.2 非齐次方程的定解问题：齐次化原理288

8.4.3 非齐次边界条件的处理290

8.4.4 可以完全齐次化的一些非齐次定解问题292

8.4.5 共振现象的数学解释294

8.5 二维拉普拉斯方程的边值问题295

8.5.1 矩形域上的边值问题295

8.5.2 圆域上的边值问题298

8.6 高维空间有界区域上的偏微分方程定解问题概述302

8.6.1 矩形膜的振动304

8.6.2 二重傅里叶级数306

习题八308

第九章 特殊函数及其应用313

9.1 特殊函数的引出313

9.2 二阶线性变系数常微分方程的幂级数解法315

9.2.1 常点邻域内的幂级数解法316

9.2.2 正则奇点邻域内的幂级数解法319

9.3 勒让德多项式的性质与应用325

9.3.1 勒让德多项式的导出325

9.3.2 勒让德多项式的性质327

9.3.3 有轴对称性的球域拉普拉斯方程边值问题332

9.4 连带勒让德函数的性质与应用338

9.4.1 连带勒让德函数的导出338

9.4.2 连带勒让德函数的性质340

9.4.3 无轴对称性的球域拉普拉斯方程边值问题和球面调和函数343

9.5 贝塞尔函数的性质与应用347

9.5.1 贝塞尔函数的性质348

9.5.2 贝塞尔函数的应用358

9.6 修正贝塞尔函数361

9.7 球贝塞尔函数364

9.8 可化为贝塞尔方程的微分方程367

习题九368

第十章 积分变换法374

10.1 傅里叶变换法374

10.1.1 分离变量法和傅里叶积分表示公式374

10.1.2 特征函数展开法和傅里叶变换378

10.1.3 傅里叶变换的基本性质381

10.1.4 求解偏微分方程定解问题的傅里叶变换法386

10.1.5 多重傅里叶变换及其应用391

10.2 半无界问题：傅里叶正余弦变换和延拓法394

10.2.1 傅里叶正弦和余弦变换395

10.2.2 延拓法398

10.3 拉普拉斯变换法402

10.3.1 拉普拉斯变换的导出及其性质402

10.3.2 拉普拉斯变换的应用406

习题十416

第十一章 波动方程的初值问题420

11.1 一维波动方程的定解问题和行波法420

11.1.1 弦振动方程初值问题420

11.1.2 波的影响区域、依赖区间和决定区域421

11.1.3 半无界弦振动问题423

11.2 三维波动方程的初值问题425

11.2.1 球对称三维波动方程的解425

11.2.2 三维波动方程的泊松公式426

11.2.3 泊松公式的物理意义428

11.2.4 非齐次方程的初值问题和推迟势429

11.3 二维波动方程的初值问题和降维法431

11.3.1 二维波动方程的泊松公式431

11.3.2 泊松公式的物理意义432

习题十一433

第十二章 基本解和格林函数法435

12.1 δ函数和广义函数简介436

12.1.1 δ函数的引出436

12.1.2 广义函数的基本概念438

12.1.3 δ函数的性质和运算446

12.1.4 高维空间中的广义函数和δ函数453

12.2 线性偏微分方程的基本解455

12.2.1 基本解和解的积分表达式455

12.2.2 基本解的求法457

12.3 位势方程边值问题的格林函数法462

12.3.1 位势方程边值问题的格林函数及解的积分公式463

12.3.2 格林函数的求法466

12.4 热传导方程和波动方程的格林函数法474

12.4.1 热传导方程的格林函数法474

12.4.2 波动方程的格林函数法477

习题十二479

附录一 含复参变量的积分482

附录二 积分变换表486

附录三 外国人名表488

参考文献489

索引495